Question

如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中有一半径为R、轴线与磁场平行的金属圆筒，圆筒的圆心O到MN的距离OO₁=3R，O₁O所在直线与圆筒右侧壁交于A点．圆筒通过导线和电阻r₀接地．现有范围足够大的平行电子束以相同的速度从很远处垂直于MN向右射入磁场区．当金属圆筒最初不带电时，圆筒上以A点和C点为界，在ADC弧上各点都能接收到电子，而AEC弧上各点均不能接收到电子；当圆筒上电荷量达到相对稳定后，通过电阻r₀的电流恒为I．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略运动电子间的相互作用和圆筒的电阻，取大地为零电势点．求：
（1）电子射入磁场时的初速度v₀；
（2）电阻r₀的电流恒定时金属圆筒的电势φ；
（3）电阻r₀的电流恒定时电子到达圆筒时速度v和金属圆筒的发热功率P．

Answer 1

（1）根据题意，电子在磁场中运动的轨道半径必定是r=4R，如图所示．由  qvB=m

v02

r

得：v0=

4eBR

m

（2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为U
U=Ir₀
电势 φ=-Ir₀
（3）电子从很远处射到圆柱表面时速度满足-eU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
得：v=

v02- 2eIr0 m

电流为I，单位时间到达圆筒的电子数：n=

I

e

电子所具有总能量：E=n×

1

2

mv02=

mIv02

2e

消耗在电阻上的功率 P_r=I²r₀
所以圆筒发热功率：P=

mIv02

2e

-I2r0
答：
（1）电子射入磁场时的初速度：v0=

4eBR

m

（2）电阻r₀的电流恒定时金属圆筒的电势：-Ir₀
（3）电阻r₀的电流恒定时电子到达圆筒时速度：v=

v02- 2eIr0 m

金属圆筒的发热功率：P=

mIv02

2e

-I2r0