Question

设雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的横截面积S成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k为比例系数）．雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看做球形，其半径为r，球的体积为

4

3

πr³，设雨点的密度为ρ，求：（1）每个雨点最终的运动速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；（2）雨点的速度达到

1

2

v_m时，雨点的加速度a为多大（用g表示）？

Answer 1

（1）当f=mg时，雨点达到最终速度v_m，则
kS

v

2m

=mg
故
kS

v

2m

=ρ

4

3

πr3g
解得
vm=

4ρrg 3k

           
即每个雨点最终的运动速度

4ρrg 3k

．                                  
（2）由牛顿第二定律得：mg-f=ma
则
mg-kS(

vm

2

)2=ma
解得
mg-

kS v 2m

4

=ma
故a=

3

4

g
即雨点的速度达到

1

2

v_m时，雨点的加速度a为

3

4

g．