某高速公路的一个出口路段如图所示.情景简化:轿车从出口A进入匝道.先匀减速直线通过下坡路段至B点.再匀速率通过水平圆弧路段至C点.最后从C点沿平直路段匀减速到收费站D点停下．已知轿车在A点的速度v0=72km/h.AB长L1=75m,BC段为半径R=20m的四分之一水平圆弧段.轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ=0.5.最大静摩擦力可认为等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到收费站D点停下．已知轿车在A点的速度v₀=72km/h，AB长L₁=75m；BC段为半径R=20m的四分之一水平圆弧段，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC限速（允许通过的最大速度）是多少；
（2）若保证轿车到能安全通过圆弧段BC，轿车在AB下坡段的最小加速度；
（3）轿车从出口A点到收费站D全程的最短时间．

分析（1）轿车在BC段做匀速圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证行车安全，车轮不打滑，所需要的向心力不大于最大静摩擦力，据此列式求解允许通过的最大速度；
（2）轿车在AB段做匀减速直线运动，已知初速度、位移和末速度，根据速度位移关系公式求解加速度．
（3）分三段，分别由运动学公式求解时间，即可得到总时间．

解答解：（1）汽车在BC段做圆周运动，恰好速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，有：
$μmg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：v=10m/s　　　
（2）v₀=72km/h=20m/s，AB长L₁=l50m，v=36km/h=10m/s，对AB段匀减速直线运动有：
v^2-${v}_{0}^{2}$=-2aL₁
代入数据解得：a=1m/s²
（3）设AB段时间为t₁，BC段时间为t₂，CD段时间为t₃，全程所用最短时间为t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$
$\frac{1}{2}π$R=vt₂
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$
t=t₁+t₂+t₃
解得：t=23.14 s
答：（1）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC限速（允许通过的最大速度）是10m/s；
（2）若保证轿车到能安全通过圆弧段BC，轿车在AB下坡段的最小加速度是1m/s²；
（3）轿车从出口A点到收费站D全程的最短时间是23.14s．

点评本题是运动学与动力学综合题，能结合物体的运动情况，灵活选择运动学的公式形式是关键，当不涉及加速度而要求时间时，可用位移等于平均速度乘以时间来求．

练习册系列答案

	A．	当R₂=r时，R₂上获得最大功率		B．	当R₂=R₁+r时，R₂上获得最大功率
	C．	当R₂=0时，R₁上获得最大功率		D．	当R₂=R₁-r时，电源的输出功率最大