题目内容

11.如图所示,水平轨道A点左侧光滑,右侧粗糙,距A点s=1.0m的B端与半径R=0.25m的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直.一小物块m1以v0=3.0m/s的速度,与静置于A点的小物块m2发生弹性碰撞.碰后m2沿水平轨道运动,然后滑上轨道BCD.已知m2=2.0kg,m2与AB轨道间的动摩擦因数μ=0.20,g取10m/s2
(1)若物块m2进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小为68N,求物块m2到达半圆轨道的中点C点时的速度大小VC
(2)若物块m2能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求物块m2碰后的最大速度V1
(3)若物块m2能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求物块m1的质量取值范围.

分析 (1)由牛顿第三定律知,物块刚进入圆轨道时受到的支持力N=68N,由机械能守恒定律结合牛顿第二定律列式求解即可;
(2)要使m2仍能沿圆轨道滑回,m2在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C,应用动能定理可以求出m2碰后的速度;
(3)碰撞过程动量守恒、机械能守恒,应用动量守恒定律以及机械能守恒定律可以求出m2的质量范围.

解答 解:(1)由牛顿第三定律知,物块刚进入圆轨道时受到的支持力N=68N,
设物块m2经过B点时的速度为vB
由机械能守恒定律得:$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{C}}^{2}+{m}_{2}gR$…①
由牛顿第二定律得:$N-{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$…②
解得物块m2到达半圆轨道的中点C点时的速度大小为:vC=1.0m/s
(2)要使m2仍能沿圆轨道滑回,m2在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C,
设碰后m2的速度为v1时恰能滑到C点,由动能定理有:$-μ{m}_{2}gs-{m}_{2}gR=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{1}}^{2}$…③
解得:v1=3.0m/s(此为m2碰后的最大速度)
(3)设碰后m2的速度为v2时恰能滑到B点,由动能定理有:$-μ{m}_{2}gs=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得:v2=2.0m/s碰后m2的速度满足2.0m/s<v≤3.0m/s时,m2能滑上圆轨道,并仍能沿圆轨道滑下
设 m1、m2发生弹性碰撞后的速度分别为v1′、v2′,以m1的初速度方向为正方向,根据动量守恒定律得:m1v0=m1v1′+m2v2′,
碰撞过程无动能损失,有:$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
得:${v}_{2}′=\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$,
由2.0m/s<$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$≤3.0m/s,
解得:1.0kg<m1≤2.0kg.
答:(1)若物块m2进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小为68N,求物块m2到达半圆轨道的中点C点时的速度大小VC
(2)若物块m2能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求物块m2碰后的最大速度V1
(3)若物块m2能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求物块m1的质量取值范围.

点评 本题考查了求压力、速度与质量范围问题,分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键,分析清楚物体运动过程后应用动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律可以解题.

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