题目内容

(2012?丰台区一模)如图所示,在竖直平面内放置一长为L的薄壁玻璃管,在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球,小球带电荷量为-q、质量为m.玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场的复合场.匀强磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度为B;匀强电场方向竖直向下 电场强度大小为
mgq
.电磁场的左边界与玻璃管平行,右边界足够远.玻璃管带着小球以水平速度v0垂直于左边界向右运动,由于水平外力F的作用,玻璃管进入磁场后速度保持不变,经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内自由运动,最后从左边界飞离电磁场. 运动过程中小球的电荷量保持不变,不计一切阻力.求:
(1)小球从玻璃管b端滑出时速度的大小.
(2)从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中,外力F随时间t变化的关系.
(3)通过计算画出小球离开玻璃管后的运动轨迹.
分析:(1)分析小球在管中受力情况,由牛顿第二定律求出加速度.运用运动的分解法,研究小球在竖直方向的运动,由速度位移关系式求出小球从玻璃管b端滑出时竖直方向的分速度大小,再与水平方向速度合成求解小球从玻璃管b端滑出时速度的大小.
(2)玻璃管向右匀速运动,根据平衡条件求解外力F随时间t变化的关系.
(3)小球进入磁场后由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律求出半径,根据数学知识研究小球的偏向角,再画出轨迹.
解答:解:(1)由题意可知:E=
mg
q
,则有qE=mg,电场力与重力平衡,小球在管子中运动的加速度为:
a=
Fy
m
=
Bv0q
m

设小球从玻璃管b端滑出时竖直方向的分速度大小为vy,则:
v
2
y
=2aL

所以小球从玻璃管b端滑出时速度的大小为:
v=
v
2
0
+
v
2
y
=
v
2
0
+
2Bv0q
m
L

(2)玻璃管向右匀速运动,则有
   F=Fx=Bvyq
又:vy=at=
Bv0q
m
t

则外力F随时间t变化的关系:F=
B2v0q2
m
t

(3)设小球在管中运动时间为t,小球在磁场中做圆周运动的半径为R,轨迹如图1所示.
t时间内玻璃管运动的距离为:x=v0t
根据牛顿第二定律得:qvB=m
v2
R

得:R=
mv
qB

由几何关系有:sinα=
x-x1
R

              
x1
R
=
vy
v

得:x1=
vy
v
R
=
Bv0qt
mv
?
mv
qB
=v0t=x
可得:sinα=0,α=0
即小球飞离磁场时速度方向垂直磁场左边界向左,则小球的运动轨迹如图2所示.
答:
(1)小球从玻璃管b端滑出时速度的大小为
v
2
0
+
2Bv0q
m
L

(2)从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程z中,外力F随时间t变化的关系为F=
B2v0q2
m
t

(3)画出小球离开玻璃管后的运动轨迹如图2所示.
点评:本题小球在重力、电场力、洛伦兹力作用下的运动,采用非常规的运动分解法.要注意洛伦兹力大小F=qvB,v应是垂直于F方向的分速度.第(3)问不能只定性画出轨迹如图2所示,要通过定量计算精确研究轨迹如图2所示.
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