Question

（2011?甘肃模拟）如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h．已知地球半径为R，地球质量为m_地，引力常量为G．设距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T₀，不计空气阻力．下列结论正确的是（　　）

• A．导弹在C点的速度大于

  Gm地 R+h

• B．导弹在C点的加速度等于

  Gm地

  (R+h)2

• C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点
• D．导弹从点A运动到B点的时间一定小于T₀

Answer 1

分析：A、若在C点能够做匀速圆周运动，提供的万有引力等于需要的向心力，现在做近心运动，可见提供的万有引力大于需要的向心力，C点的速度小于在C点做匀速圆周运动的速度．
B、先求出在C点受到的万有引力，再根据牛顿第二定律求加速度．
C、导弹做的是椭圆运动，地球位于椭圆的焦点上．
D、根据开普勒第三定律比较椭圆轨道和圆轨道的周期．

解答：解：A、根据G

m地m

(R+h)2

=m

v2

R+h

，在C点做匀速圆周运动的速度v=

Gm地 R+h

．因为做椭圆运动，在C点提供的力大于所需要的向心力，所以导弹在C点的速度小于

Gm地 R+h

．故A错．
   B、导弹在C点受到的万有引力F=G

m地m

(R+h)2

，所以a=

F

m

=G

m地

(R+h)2

．故B正确．
   C、导弹做的是椭圆运动，地球位于椭圆的焦点上．故C正确．
   D、根据开普勒第三定律，

R3

T2

=C，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以椭圆的周期小于圆的周期，所以导弹从点A运动到B点的时间一定小于T₀．故D正确．
故选BCD．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G

m地m

(R+h)2

=m

v2

R+h

，以及开普勒第三定律

R3

T2

=C．