Question

1．如图所示，条形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小均为0.3T，AA′、BB′、CC′、DD′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，磁场宽度及BB′、CC′之间的距离d=1m．一束带正电的某种粒子从AA′上的O点以沿与AA′成60°角、大小不同的速度射入磁场，当粒子的速度小于某一值V₀时，粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t₀=4×10^-6s；当粒子
速度为V₁时，刚好垂直边界BB′射出区域Ⅰ．取π≈3，
不计粒子所受重力． 求：
（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）速度V₀ 和V₁的大小；
（3）速度为V₁的粒子从O到DD′所用的时间．

Answer 1

分析 （1）若粒子的速度小于某一值v₀时，则粒子不能从BB′离开区域Ⅰ，只能从AA′边离开区域Ⅰ，无论粒子速度大小，在区域Ⅰ中运动的时间相同，作出该粒子的轨迹图，根据几何关系得出圆心角的大小，再根据周期公式得出时间与周期的关系，从而得出粒子的比荷．
（2）当粒子速度为v₀时，粒子在区域I内的运动轨迹刚好与BB′边界相切，根据几何关系得出粒子运动的半径，再根据粒子在匀强磁场中运动的半径公式求出v₀ 的大小．当粒子速度为v₁时，刚好垂直边界BB′射出区域Ⅰ．根据几何关系得出粒子的半径，再根据粒子在匀强磁场中运动的半径公式求出v₁ 的大小．
（3）速度为v₁的粒子在第一个磁场区和第二个磁场区运动的时间相等，根据几何关系求出在磁场区运动的圆心角，从而根据周期公式求出在磁场中运动的时间，粒子在无磁场区做匀速直线运动，根据运动学公式求出在无磁场区运动的时间，从而求出运动的总时间．

解答 解：（1）若粒子的速度小于某一值v₀时，则粒子不能从BB′离开区域Ⅰ，只能从AA′边离开区域Ⅰ，无论粒子速度大小，在区域Ⅰ中运动的时间相同，轨迹如图所示（图中只画了一个粒子的轨迹）．
粒子在区域Ⅰ内做圆周运动的圆心角为φ₁=240°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t₀=$\frac{2}{3}$T，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{10}{3}$×10⁶C/kg≈3.3×10⁶C/kg；
（2）当粒子速度为v₀时，粒子在区域I内的运动轨迹刚好与BB′边界相切，
此时有：R₀+R₀sin30°=d，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$，
解得：v₀=$\frac{2}{3}$×10⁶m/s，
当粒子速度为v₁时，刚好垂直边界BB′射出区域Ⅰ，
此时轨迹所对圆心角φ₂=30⁰，有：R₁sinφ₂=d  
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：v₁=2×10⁶m/s；
（3）区域I、Ⅱ宽度相同，
则粒子在区域I、Ⅱ中运动时间均为$\frac{{t}_{0}}{8}$，
穿过中间无磁场区域的时间为：t₁=$\frac{d}{{v}_{1}}$=5×10^-7s，
则粒子从O₁到DD′所用的时间：t=$\frac{{t}_{0}}{4}$+t₁=1.5×10^-6s；
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$为3.3×10⁶C/kg．
（2）速度v₀ 和v₁的大小分别为：$\frac{2}{3}$×10⁶m/s、2×10⁶m/s．
（3）速度为v₁的粒子从O到DD′所用的时间为1.5×10^-6s．

点评 解决本题的关键作出粒子运动的轨迹图，通过几何关系找出粒子运动的半径以及圆心角的大小，掌握粒子在匀强磁场中运动的半径公式和周期公式．