Question

7．如图所示，在半径R=20cm、质量M=168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为R的一半，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m=1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d=2m，试求它们之间的相互吸引力．

Answer 1

分析 用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：万有引力公式：F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$，
由其内部挖去一个半径为$\frac{1}{2}$R的球形空穴，挖去小球的质量为m′，
挖去之前的球的质量为M，则：M=8m′，
在没有挖去前，大球对小球m的万有引力：F=G$\frac{Mm}{{d}^{2}}$，
该力等效于挖去的直径为R的小球对m的力和剩余不规则部分对m的力这两个力的合力，
所以对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力：
F′=G$\frac{Mm}{{d}^{2}}$-G$\frac{\frac{M}{8}×m}{（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=G$\frac{Mm}{{d}^{2}}$-G$\frac{Mm}{8（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=G$\frac{168×1}{{2}^{2}}$-G$\frac{168×1}{8（2-\frac{0.2}{2}）^{2}}$=$\frac{13062}{361}$G≈36.18G；
答：它们之间的相互吸引力为36.18G．

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在与小球m的引力等于割掉的小球与小球m的引力和剩余空腔部分与小球m的引力的矢量和，掌握割补思想是解决本题的主要入手点，掌握万有引力定律公式是基础．