Question

2．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力与万有引力相等，月球绕地球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力据此列式求解；
（2）根据竖直上抛运动的速度和时间求得月球表面的重力加速度，再根据万有引力等于重力求得月球质量．

解答 解：（1）在地球表面有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$    ①
月球绕地球圆周运动有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$       ②
由①②两式解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）根据竖直上抛规律可知，以v₀上抛的物体运动时间t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$
可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{2{v}_{0}}{t}$
在月球表面，重力与万有引力相等有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{r}^{2}}=mg′$
代入重力加速度可得月球质量M_月=$\frac{g′{r}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，引力常量为G，月球的质量M_月为$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

点评 万有引力应用问题主要思路有：一星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．