Question

10．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω₀，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行角速度；
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多少时间，他们相距最远？

Answer 1

分析 （1）卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出卫星B的运行角速度．
（2）卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于π时，卫星再一次相距最远．

解答 解：（1）对于B卫星，由万有引力定律和向心力得
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）ω_B²；
在地球表面上，由m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
联立解得ω_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
（2）它们再一次相距最远时，一定是B比A多转了半圈，有：
ω_Bt-ω₀t=π
则得 t=$\frac{π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}-ω{\;}_{0}}$
答：
（1）卫星B的运行角速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$；
（2）至少经过$\frac{π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}-ω{\;}_{0}}$时间，他们相距最远．

点评 本题要求熟练应用万有引力提供向心力解决卫星的运动问题，关键要明确卫星相距最远的条件．