Question

20．“嫦娥奔月”的过程可简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高度h₁，然后经过变轨被月球捕获，再经过多次变轨，最终在距离月球表面h₂的轨道上绕月球做匀速圆周运动（引力常量为G）．
（1）已知地球半径为R₁，表面的重力加速度为g，求“嫦娥一号”在远地点A处的加速度a；
（2）已知“嫦娥一号”绕月运行的周期T，半径为R₂，求月球的质量．

Answer 1

分析 （1）嫦娥一号受到合力为地球的万有引力，由牛顿第二定律可以求出A点处的加速度．
（2）月球对嫦娥一号的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出月球的质量．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：
对嫦娥一号卫星：ma=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=G$\frac{Mm}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$，
在地球表面的物体mg₀=G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$，
解得：a=$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$；
（2）月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G $\frac{Mm}{（{R}_{2}^{\;}+{h}_{2}）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R₂+h₂），
解得：M=$\frac{4{π}^{3}（{R}_{2}+{h}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$
答：（1）“嫦娥一号”在远地点A处的加速度a为$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{{（{R}_{1}+{h}_{1}）}^{2}}$；
（2）月球的质量为$\frac{4{π}^{3}{（{R}_{2}+{h}_{2}）}^{3}}{G{T}^{2}}$．

点评 万有引力等于重力，万有引力提供向心力，由万有引力定律及牛顿第二定律可以正确解题．