题目内容
【题目】如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求
（i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
（ii）距光轴
的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
【答案】（i）
；（ii）
【解析】（i）如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角i0时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
②
由几何关系有
③
联立①②③式并利用题给条件，得
④
（ii）设与光轴距
的光线在球面B点折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有
⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
⑥
由几何关系有
⑦
⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给的条件得
⑨
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