Question

【题目】如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以某一初速度竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的匀强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s2。那么，

（1）判断小球所带电性；

（2）试求碰后小球N的速度的大小；

（3）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。

（4）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。

Answer 1

【答案】（1）带正电（2）2.5m/s（3）不可能（4） （n=0.1.2.3）

【解析】（1）由题意知：N碰后做平抛，小球P在竖直平面内做匀速圆周运动，故P所受电场力和重力平衡，P带正电荷；

（2）设P、N碰后的速度大小分别为和V，并令水平向右为正方向

由，得①

若P、N碰后速度同向时②

计算可得，这种碰撞不能实现；

设P、N瞬时必为反向运动，有③得；④

（3）设P、N速度相等时，N经过的时间为tN，P经过的时间为tP，此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为θ，有：

cos⑤

解得： ， ⑥，代入数据得

对小球P，其圆周运动的周期为T，有⑦，即

P经过时，对应的圆心角为α，有⑧

当磁感应强度B的方向垂直于纸面向外时，若P、N的速度相同，如图可知，有：

联立相关方程得

比较得： ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同；

当磁感应强度B的方向垂直于纸面向里时，若P、N的速度相同，如图可知，有：

同上得

比较得： ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同；

（4）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同， ，

再联立①⑥⑦⑧解得

考虑圆周运动的周期性（n=0.1.2.3）

当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，

同理得

考虑圆周运动的周期性，有（n=0.1.2.3）

（给定的B、q、r、m、等物理量决定n的取值）