Question

1．质谱仪是一种分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S产生质量为m、电荷量为q的钾离子，离子出来时速度很小，可视为零．离子经过电势差为U的电场加速后，沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，经半圆周到达照相底片上的P点．
（1）求粒子进入磁场时的速度v₀；
（2）求P点到入口S₁的距离x；
（3）在实验过程中由于仪器不完善，加速电压在平均值U附近变化±△U，求需要以多大相对精确度$\frac{△U}{U}$维持加速电压值，才能使钾39、钾41的同位素束在照相底片上不发生覆盖．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入磁场时的动能．
（2）根据洛伦兹力提供向心力，可求出粒子的轨道半径，然后求出距离．
（3）因电荷在电场中加速，根据动能定理与牛顿第二定律相结合，即可求解运动半径的大小；再由电压变化范围，则有钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠时的电压差．

解答 解：（1）带电粒子在加速电场中运动，由动能定理有
 qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得，粒子进入磁场时的速率：v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
P点到入口S₁的距离x=2R=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）设加速电压为U，磁场的磁感应强度为B，电荷的电荷量为q，质量为m，运动半径为R，则
由动能定理：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
牛顿第二定律，则有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
由此式可知，在B、q、U相同时，m小的半径小，所以钾39半径小，钾41半径大；
在m、B、q相同时，U大半径大．
设：钾39质量为m₁，电压为U+△U时，最大半径为R₁；
钾41质量为m₂，电压为U-△U时，钾41最小半径为R₂．则
R₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}（U+△U）}{q}}$，R₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}（U-△U）}{q}}$，
令R₁=R₂，则m₁（U+△U）=m₂（U-△U）
解得：△U=$\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{2}+{m}_{1}}$U=$\frac{41-39}{41+39}$U=$\frac{1}{40}$U，
相对精确度$\frac{△U}{U}$=2.5%；
答：（1）粒子进入磁场时的速度v₀为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）P点到入口S₁的距离x为$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）在实验过程中由于仪器不完善，加速电压在平均值U附近变化±△U，需要以2.5%的相对精确度$\frac{△U}{U}$维持加速电压值，才能使钾39、钾41的同位素束在照相底片上不发生覆盖．

点评 本题是动能定理和牛顿定律的综合题，解决本题的关键会灵活运用动能定理和牛顿定律；确定运动半径与电压的关系，这是解题的关键之处，同时注意理解：钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠的含义．