题目内容

14．如图所示，光滑、足够长、不计电阻，轨道间距分别为l1和l2（l1=2l2）的平行金属导轨CD、EF和MN、PQ，水平放在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，在轨道间距为l1匀强磁场区的左边界垂直于导轨放置一质量为m、电阻为R1的金属棒a（长度略大于l1），在轨道间距为l1匀强磁场区的另一位置，垂直于导轨放置另一质量也为m、电阻分布均匀阻值为R2的金属棒b（长度略大于l1）．开始时b静止在轨道间距为l1的匀强磁场中，给a一个向右的初速度V0后a、b开始运动，设运动过程中，二金属 棒总是与导轨垂直．
（1）求金属棒a获得初速度V0的瞬间金属棒b两端的电压；
（2）设金属棒b在轨道间距为l1匀强磁场区的右边界前已经达到最大速度，求金属棒b的最大速度值；
（3）金属棒b进入轨道间距l2匀强磁场区后，金属棒b再次达到匀速运动状态，设这时金属棒a仍然在轨道间距为l1匀强磁场区中，求金属棒b进入轨道间距l2匀强磁场区后金属棒a、b中产生的总焦耳热．

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求的产生的感应电动势，由闭合欧姆定律求的电压；
（2）根据动量守恒求的达到的最大速度；
（3）利用动量定理和能量守恒即可求得；

解答 解：（1）金属棒a获得速度瞬间产生的感应电动势为：E=Bl1v0
有闭合电路的欧姆定律得b两端的电压为：$U=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}•{R}_{2}=\frac{B{l}_{1}{v}_{0}{R}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
（2）ab棒最后做匀速运动，故ab棒产生的感应电动势大小相同，故Bl1va=Bl1vb，
解得：va=vb
选向右为正方向，对ab棒组成的系统而言，动量守恒可得：mv0=2mv
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
故达到的共同最大速度为v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（3）当金属棒b再次达到匀速运动状态，整个回路中电流为零，故ab棒产生的感应电动势大小相同，即：Bl1va=Bl2vb
解得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}=\frac{1}{2}$
选向右为正方向，在整个过程中由动量定理，对a，则有：2FAt=m（va-$\frac{{v}_{0}}{2}$）
对b，则有：FAt=m（vb-$\frac{{v}_{0}}{2}$）
联立解得：va=$\frac{{v}_{0}}{6}$，vb=$\frac{{v}_{0}}{3}$
在整个过程中由能量守恒可知：Q=$\frac{1}{2}•2m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{6}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{3}）^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{40}$
答：（1）金属棒a获得初速度V0的瞬间金属棒b两端的电压$\frac{B{l}_{1}{v}_{0}{R}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
（2）设金属棒b在轨道间距为l1匀强磁场区的右边界前已经达到最大速度，金属棒b的最大速度值为$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）金属棒b进入轨道间距l2匀强磁场区后金属棒a、b中产生的总焦耳热为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{40}$

点评 本题主要考查了导体切割磁感线产生感应电动势，利用好闭合电路的欧姆定律及能量守恒即可

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