Question

12．如图所示，被长为L的细绳系着的小球，能使O点在竖直平面内做圆周运动，O点离地面的竖直高度为h=3L，如果绳受到的拉力等于小球所受重力的5倍时，就会断裂，那么当小球运动到最低点的速度多大时，绳刚好断裂，小球飞出后落地点距O点的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小球运动到最低点时绳恰好断裂时，绳的拉力等于小球重力的5倍．重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出速度．
（2）绳断后小球做平抛运动，此时小球离地高度为2L，竖直方向做自由落体运动，由高度求出时间，小球水平方向做匀速直线运动，由初速度和时间求出小球飞出后落地点距O点的水平距离．

解答 解：当运动到最低点时，据牛顿第二定律得
  $T-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
当绳的拉力达到5mg时绳断裂，即T=5mg则 
解得速度v=$2\sqrt{gL}$
绳断后小球做平抛运动
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又H=h-L得   t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$
小球飞出后落地点距O点的水平距离$x=vt=2\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{4L}{g}}=4L$
答：当小球运动到最低点的速度为$2\sqrt{gL}$时，绳刚好断裂，小球飞出后落地点距O点的水平距离为4L．

点评 本题是牛顿第二定律、向心力和平抛运动的综合，抓住绳子刚断时的临界条件是：绳子拉力达到最大值．