Question

13．如图1所示的装置是由加速器、电场偏转器和磁场偏转器构成．加速器两板a、b间加图2所示变化电压u_ab，水平放置的电场偏转器两板间加恒定电压U₀，极板长度为l，板间距离为d，磁场偏转器中分布着垂直纸面向里的左右有界、上下无界的匀强磁场B，磁场的宽度为D．许多质量为m、带电量为+q的粒子从静止开始，经过加速器加速后从与电场偏转器上板距离为$\frac{2d}{3}$的位置水平射入．已知：U₀=1000V，B=$\frac{\sqrt{3}}{6}$T，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=8×10⁷C/kg，粒子在加速器中运动时间远小于U_ab的周期，粒子经电场偏转后沿竖直方向的位移为y，速度方向与水平方向的夹角为θ，y与tanθ的关系图象如图3所示．不考虑粒子受到的重力．
（1）求电场偏转器极板间距离d和极板长度l；
（2）为使从电场偏转器下极板边缘飞出的粒子不从磁场区域右侧飞出，求磁场宽度D的最小值，并求出该粒子在两个偏转器中运动的总时间；
（3）求ab的一个周期内能够进入磁场区域的时间t与不能进入磁场的时间t之比．

Answer 1

分析 （1）对在偏转电场的过程，粒子向下偏转，做类似平抛运动，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的2倍，根据该推论并结合图2可以得到电场偏转器极板间距离d和极板长度l；
（2）对于类似平抛运动过程，根据分运动公式列式求解初速度和末速度，还可以得到末速度方向；考虑磁场中运动的临界情况，即轨迹恰好与磁场右侧边缘相切，先根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，再结合几何关系得到磁场区域的最小宽度；
（3）为使粒子能够进入磁场区域，粒子的速度应该大于第二问求出的v₀，对加速过程，结合动能定理列式求解出临界加速电压，再结合图2分析即可．

解答 解：（1）由图3可知，当tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（θ=30°）时，对应粒子恰好从下板边缘飞出进入磁场，即：
$\frac{d}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：
d=$\sqrt{3}$cm
对能够飞出电场的粒子，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的2倍，故：
tanθ=2tanα=2×$\frac{y}{l}$
代入数据可的：
l=2cm
（2）设从下极板边缘飞出的粒子进入电场偏转器时的速度为v₀，进入磁场后恰好不从磁场右侧飞出，此时磁场宽度为D₀
根据类似平抛运动的分运动公式，有：
y=$\frac{d}{3}$=$\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}}{md}{t}^{2}$
x=l=v₀t
联立并代入数据得：
v₀=4×10⁵m/s
离开偏转电场的速度：
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4×1{0}^{5}m/s}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$×10⁵m/s
设粒子在磁场中运动的速度为v，半径为R，根据牛顿第二定律，有：

qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
结合几何关系，有：
D₀=R+Rsin30°
联立并代入数据得：D=0.03m
该粒子在磁场中运动周期T=$\frac{2πm}{qB}$
代入数据得：
t=$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s
（3）对恰好能够从下板边缘飞出的粒子，设它进入加速电场时加速电压为U，由（2）问得：v₀=4×10⁵m/s
对加速过程，根据动能定理，有：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：U=1000V
为使粒子能够进入磁场区域，则必须加速电压U≥1000V
由图可知，进入时刻t应满足：
（0.2n+0.06）s≤t≤（0.2n+0.14）s（n=0，1，2，…）
即在一个周期的0.2s内，能够进入的时间为0.08s，不能进入的时间为0.12s，故一个周期内能够进入磁场区域的时间与不能进入磁场的时间之比为2：3．
答：（1）电场偏转器极板间距离d为$\sqrt{3}$cm，极板长度l为2cm；
（2）为使从电场偏转器下极板边缘飞出的粒子不从磁场区域右侧飞出，磁场宽度D的最小值为0.03m，该粒子在两个偏转器中运动的总时间$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s；
（3）ab的一个周期内能够进入磁场区域的时间t与不能进入磁场的时间t之比为2：3．

点评 本题属于带电粒子在组合场的运动，在电场中的加速通常用动能定理处理，在电场中的偏转通常运用类平抛运动规律，在磁场中圆周运动时与边界相切是经常考查的临界情况．