Question

20．质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车的上表面是一光滑的曲面，末端是水平的，如图所示，小车被挡板P挡住，质量为m物体从距地面高H处自由下落，然后沿光滑的曲面继续下滑，物体落地点于小车右端距离为s₀．若撤去挡板P，物体仍从原处自由落下，求物体落地时落地点于小车右端距离是多少？

Answer 1

分析 小车被挡板P挡住时，小球从最高点下落至滑离小车时机械能守恒，由机械能守恒定律列式，得出平抛运动初速度与H的关系式；小球离开小车右端后做平抛运动，由平抛运动的规律列式得到s₀与高度H的表达式．
撤去挡板P时，小球从最高点至离开小车之时系统的机械能守恒，系统水平方向动量守恒．根据两大守恒列式求出小球离开小车时两者的速度．再根据平抛运动的规律求解．

解答 解：小车被挡板P挡住时，设小球滑离小车时的速度v₁，车尾部（右端）离地面高为h．
小球从最高点下落至滑离小车时机械能守恒，则有
  mg（H-h）=$\frac{1}{2}$mv₁² ①
由平抛运动的规律得
    s₀=v₁t    ②
    h=$\frac{1}{2}$gt²．    ③
联立解得：s₀=$\sqrt{4（H-h）h}$                      
设去掉挡板P时小球离开小车时速度为v₂，小车速度为v′₂，小球从最高点至离开小车之时系统的机械能守恒 
   mg（H-h）=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv′₂² ④
小球与小车相互作用过程中水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，则得 Mv′₂-mv₂=0．   ⑤
得 v₂=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$v₁，v′₂=$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$v₁
小球离开车后对地平抛运动，则有
  s₂=v₂t′⑥
  h=$\frac{1}{2}$gt′²   ⑦
车在t′时间内向前的位移 s′₂=v′₂t′⑧
此种情况下落地点距车右端的距离  s=s₂+s′₂=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$v₁t+$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$v₁t=（1+$\frac{m}{M}$）s₀$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$=s₀$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$ ⑨
答：物体落地时落地点于小车右端距离是s₀$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$．

点评 本题是机械能守恒、平抛运动、系统的动量守恒的综合应用，把握每个过程的物理规律是解题的关键，要注意平抛运动的时间是由下落高度决定的．