Question

13．如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻．导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨．当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动．已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g，导轨电阻不计．求：
（1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I_a与定值电阻R中的电流强度I_R之比；
（2）a棒质量m_a；
（3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F．

Answer 1

分析 （1）a棒相当于电源，b棒与R并联，由串并联电路的电流规律可得出两电阻中电流之比；
（2）对b棒由受力平衡可求得I_b，由（1）可求得Ia；因a棒离开磁场后机械能守恒，故返回磁场时的速度相等，则由返回磁场时做匀速运动可由受力平衡得出a的速度，联立各式可得出a的质量；
（3）已知I_b，则由安培力公式可求得b受到的安培力F，再由平衡条件求拉力F．

解答 解：（1）a棒沿导轨向上运动时，a棒、b棒及电阻R中的电流强度分别为I_a、I_b、I_R，有
  I_RR=I_bR    ①
  I_a=I_R+I_b ②
由①②解得 $\frac{{I}_{a}}{{I}_{R}}$=$\frac{2}{1}$        ③
（2）由于a棒在PQ上方滑动过程中机械能守恒，因而a棒在磁场中向上滑动的速度大小v₁
与在磁场中向下滑动的速度大小v₂相等，即 v₁=v₂=v          ④
设磁场的磁感应强度为B，导体棒长为L．
a棒在磁场中运动时产生的感应电动势为E=BLv                ⑤
当a棒沿斜面向上运动时 I_b=$\frac{E}{2×\frac{3R}{2}}$                        ⑥
b棒静止，有 BI_bL=mgsin θ                           ⑦
向下匀速运动时，a棒中的电流为I_a′，则
 I_a′=$\frac{E}{2R}$                                 ⑧
 BI_a′L=m_agsin θ                        ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨解得 m_a=$\frac{3}{2}$m
（3）由题知导体棒a沿斜面向上运动时，所受拉力
F=BI_aL+m_agsin θ
联立以上各式解得F=$\frac{7}{2}$mgsin θ
答：
（1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I_a与定值电阻R中的电流强度I_R之比是2：1；
（2）a棒质量m_a是$\frac{3}{2}$m．
（3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F是$\frac{7}{2}$mgsinθ．

点评 电磁感应常常与能量及受力结合，在分析此类问题时要注意物体的运动状态，从而灵活地选择物理规律求解．