Question

19．如图所示（俯视），在竖直磁场中，磁感应强度B沿y轴方向分布均匀，而沿x轴方向是变化的，且满足B=ax．将电阻不计，间距为L，足够长的平行光滑金属导轨水平固定于该磁场中，右端接一定值电阻R；另有电阻为r的导体棒PQ垂直横跨于导轨上，且始终与导轨接触良好．

（1）若导体棒PQ从极靠近y轴（但不与y轴重合）的位置开始以速度v_t=$\frac{{v}_{0}}{x}$向右变速运动，求定值电阻R中电流的表达式；
（2）若导体棒PQ从与y轴重合的位置开始以速度v₀向右匀速运动，为了维持导体棒匀速运动，需要加一个水平拉力F于棒的中点，求t时刻水平拉力F的大小．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求得电动势，再根据欧姆定律求得电流；
（2）由安培定则求得安培力，再根据受力平衡得到拉力F．

解答 解：（1）导体棒PQ从极靠近y轴（但不与y轴重合）的位置开始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右变速运动时，
任意时刻的感应电动势的瞬时值$e=BL{v}_{t}=axL×\frac{{v}_{0}}{x}=aL{v}_{0}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得，定值电阻R中的电流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）在时间t内，导体棒PQ从与y轴重合的位置开始以速度v₀向右匀速运动，所以导体棒PQ的位移x=v₀t，
导体棒PQ所在位置的磁感应强度B=ax=av₀t，
由法拉第电磁感应定律求得电动势的瞬时值$e=BL{v}_{t}=a{v}_{0}t×L×{v}_{0}=aL{{v}_{0}}^{2}t$，
感应电流的瞬时值$i=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}$，
所以，安培力${F}_{安}=BiL=a{v}_{0}t×\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}×L=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$
对导体棒进行受力分析，可知其在水平方向只受安培力和拉力，又有导体棒向右做匀速运动，
所以，由受力平衡可得：$F={F}_{安}=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．
答：（1）导体棒PQ从极靠近y轴（但不与y轴重合）的位置开始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右变速运动，定值电阻R中电流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）导体棒PQ从与y轴重合的位置开始以速度v₀向右匀速运动，t时刻水平拉力$F=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．

点评 注意第二问最终F要用时间t来表示，不能用x表示．即求解的最终结果必须由题目中给出条件表示．