Question

如图所示是一个竖直平面内的由倾斜直线、半径R=50cm圆弧和竖直直线三部分组成的带有凹槽的光滑轨道，且轨道的圆弧部分与倾斜部分恰好相切连接，倾斜轨道与水平面的夹角为45°．两个质量均为m=2kg的小环套在光滑轨道上，小环之间用不计质量且不可拉伸的细线相连（图中虚线表示），细线只能沿轨道的凹槽运动．开始时，让A、B两小环分别静止在圆弧轨道的最低点和倾斜轨道上，细线处于拉紧状态．释放后两小环开始运动，求：
（1）小环A运动到圆弧的最右端时的速度大小．
（2）分析小环A能否到达圆弧的最高点？如能，则计算小环到达最高点时的速度大小；如不能，则估算小环从最低点开始上升的最大高度．（精确到1cm）

Answer 1

分析：（1）把A、B两个小环看成一个整体，它们速度大小相等，从初位置运动到A球到达最右端的过程中运用机械能守恒即可求解速度；
（2）假设小环能上升到最高点，运用机械能守恒列式进行分析判断．若不能，由机械能守恒和几何知识求解最大高度．

解答：解：（1）对整体从初位置运动到A球到达最右端的过程中运用机械能守恒得：

1

2

×2mv2-0=-mgR+mg×

1

4

×2πR×sin45°
带入数据解得：v=0.744m/s
（2）假设小环能上升到最高点，则对整体从初位置运动到A球到达最高点的过程中运用机械能守恒得：

1

2

×2mv′2-0=-mg?2R+mg×

1

2

×2πR×sin45°
带入数据化简得：2×v′²=-2×10×1+20×0.5×

2

2

＜0
故假设不可能，即说明小环A不能到达圆弧的最高点．
设小环A从最低点开始上升的最大高度为h，B沿斜面下滑的距离为S，则有
  mgh=mgSsin45°
又根据数学知识有：cos

S

R

=

R-h

R

联立代入得：cos

2 h

50

=1-

h

50

解得，h≈70cm
答：（1）小环A运动到圆弧的最右端时的速度大小是0.744m/s．
（2）小环A不能到达圆弧的最高点．小环A从最低点开始上升的最大高度是70cm．

点评：本题是系统的机械能守恒问题，环到达最高点的临界条件是速度等于零，要善于运用假设进行分析．