Question

质量为m的小球B与质量为2m的小球C之间用一根轻质弹簧连接，现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比．小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设3个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆筒内径），问小球A至少在B球正上方多少距离处自由落下，与B球粘连后一起运动，可带动小球C离开筒底．

Answer 1

设小球A由初始位置下落至小球B碰撞前的速度为v₀，由机械能守恒得：
mg3x₀=

1

2

mv₀²  （1）
所以：v₀=

6gx0

  （2）
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v₁，由动量守恒得：mv₀=2mv₁  （3）
所以：v₁=

1

2

6gx0

   （4）
设弹簧初始的弹性势能为E_P，则碰撞后回到O点时机械能守恒得：
2mgx₀=

1

2

×2mv₁²+E_P   （5）
由（1）（3）（5）式可得：E_P=

1

2

mgx₀   （6）
小球B处于平衡时，有（设k为弹簧的劲度系数）
kx₀=mg    （7）
当小球C刚好被拉离筒底时，有：
kx=2mg   （8）
由（7）（8）可知：x=2x₀    （9）
根据题中条件可知，小球C刚好被拉离筒底时，弹簧弹性势能为：E'_P=4E_P   （10）
设小球A至少在B球正上方h处高处下落，且与小球B碰撞前速度为v₃，由机械能守恒，得：
mgh=

1

2

mv₃²   （11）
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v₄
由动量守恒可得：mv₃=2mv₄   （12）
由机械能守恒得：

1

2

×2mv₄²+E_P=E'_p+2mg×3x₀   （13）
由（6）（10）（11）（12）（13）可得：h=15x₀    （14）
答：小球至少距B球15x₀才能带动C离开筒底．