Question

一质量为m的黏性小球，用长为L的细绳挂在一与木块固定在一起的小立柱上，如图所示，木块和立柱的总质量为M，放在水平桌面上，桌面与木块的动摩擦因数为μ．现将小球拉到水平位置后静止释放，与小立柱碰撞后立即粘在小立柱上，设小球在下摆过程中木块不移动．
（1）求碰撞后小球、立柱、木块系统移动的距离；
（2）求小球下摆的过程中，重力的最大功率．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球在下摆过程中木块不移动，小球的机械能守恒，由机械能守恒求出碰撞前小球的速度．碰撞过程，时间极短，系统所受的外力可忽略，系统水平方向动量守恒，根据动量守恒求出碰后的速度，再由动能定理列式求出系统移动的距离．
（2）重力的功率等于重力与竖直分速度的乘积，小球下摆的过程中，竖直分速度从零增大再到零，重力功率先增大后减小，则当小球在竖直方向上的加速度为零，即竖直方向上受力平衡，竖直方向上的分速度最大，根据机械能守恒定律、牛顿第二定律和功率公式结合求解．
解答：解：（1）碰撞前瞬间，设小球速度为v，则机械能守恒，得：
   mgl=
碰撞过程中，系统受的外力冲量很小，可忽略不计，则系统水平方向动量守恒：
  mv=（m+M）v′
解得：v′=   
然后，系统在f作用下减速，由动能定理得：
-μ（m+M）gs=0-   
则解出最大位移s=     
（2）设小球摆至细绳与水平方向夹角为θ，如图，设此时小球速度为v，
由机械能守恒得：mglsinθ=，得v=  ①
由牛顿第二定律得：
  T-mgsinθ=m ②
重力的功率最大，就是小球在竖直方向上的分速度最大，此时小球在竖直方向上的加速度为零，即竖直方向上受力平衡，所以
 Tsinθ=mg ③
联立①解得：sinθ=
故重力的最大功率：P=mgvcosθ=mgcosθ=
答：
（1）碰撞后小球、立柱、木块系统移动的距离为；
（2）小球下摆的过程中，重力的最大功率为．
点评：本题是复杂的力学综合题，把握每个过程的物理规律是基础，关键分析出重力功率最大的条件：竖直方向上受力平衡，也可以采用函数法，由机械能守恒定律和重力的瞬时功率公式得到重力功率与θ的关系式，再求极值．