题目内容

5．卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，不仅用实验验证了万有引力定律的正确性，而且应用引力常量还可以测出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．已知引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．
（1）根据以上信息和所学知识推导地球质量M和地球密度ρ；
（2）根据题干中给出的信息和所学知识，推导地球的第一宇宙速度V1；
（3）已知太阳系的某颗小行星半径为地球半径的$\frac{1}{N}$，将该小行星和地球都看作质量均匀分布的球体，且两星球的密度相同，试计算该小行星的第一宇宙速度v2．

分析 （1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，据此求出地球质量，然后应用密度公式求出地球的密度．
（2）卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出第一宇宙速度．
（3）卫星绕行星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出该行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，地球质量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，第一宇宙速度：v1=$\sqrt{gR}$；
（3）小行星的密度与地球密度相同，
则：$\frac{3{g}_{地}}{4πG{R}_{地}}$=$\frac{3{g}_{行星}}{4πG{R}_{行星}}$，g行星=$\frac{{R}_{行星}{g}_{地}}{{R}_{地}}$=$\frac{\frac{1}{N}{R}_{地}{g}_{地}}{{R}_{地}}$=$\frac{{g}_{地}}{N}$，
小行星的低于宇宙速度：v2=$\sqrt{{g}_{行星}{R}_{行星}}$=$\sqrt{\frac{{g}_{地}}{N}×\frac{{R}_{地}}{N}}$=$\frac{1}{N}$$\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{\sqrt{gR}}{N}$；
答：（1）地球质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$，地球密度ρ为$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）地球的第一宇宙速度V1为$\sqrt{gR}$；
（3）该小行星的第一宇宙速度v2为$\frac{\sqrt{gR}}{N}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力、知道万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律即可解题，解题时注意代换的应用．

练习册系列答案
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（2）多用电表测未知电阻阻值的电路如图乙所示，电池的电动势为E、内阻为r，R0为调零电阻，Rg为表头内阻，电路中电流I与待测电阻的阻值Rx关系图象如图丙所示，则该图象的函数关系式为$I=\frac{E}{{r+{R_g}+{R_0}+{R_x}}}$．

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回答下列问题，（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2）
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