题目内容

（2011?安徽二模）如图所示，水平轨道AB与半径为R的竖直半圆形轨道BC相切于B点．质量为2m和m的a、b两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块以与一轻弹簧相连．某一瞬间给小滑块以一冲量使其获得v0=3
gR
的初速度向右冲向小滑块b，与b碰撞后弹簧不与b相粘连，且小滑块b在到达B点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求：
（1）a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能；
（2）小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力；
（3）小滑块b最终落到轨道上何处．
分析：（1）碰撞过程动量守恒，当两球的速度相等时，系统损失动能最大，此时对应的弹性势能最大．
（2）当弹簧恢复原长时，b球速度最大，此时b球向右运动滑上轨道，根据动量守恒、机械能守恒以及向心力公式可求得正确结果．
（3）根据完成圆周运动的临界条件，判断b球是否能通过最高点，若能则通过后做平抛运动，根据平抛运动规律可求得结果．
解答：解：（1）a与b碰撞达到共同速度时弹簧被压缩至最短，弹性势能最大．设此时ab的速度为v，则由系统的动量守恒可得：
2mv0=3mv                   ①
由机械能守恒定律得：
1
2
?mg
v
2
0
=
1
2
? 3mv2+Epm       ②
联立①②解得：Epm=3mgR．   
故a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能为：Epm=3mgR．   
（2）当弹簧恢复原长时弹性势能为零，b开始离开弹簧，此时b的速度达到最大值，并以此速度在水平轨道上向前匀速运动．设此时a、b的速度分别为v1、v2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得：
2mv0=2mv1+mv2
1
2
?2m 
v
2
0
 =
1
2
?2m
v
2
1
+
1
2
m
v
2
2

解得：v2=4
gR

滑块b到达B时，根据牛顿第二定律有：
FN-mg=m
v
2
2
R

解得：FN=17mg
故根据牛顿第三定律滑块b在B点对轨道的压力为
F
/
N
=17mg，方向竖直向下．
（3）设b恰能到达最高点C点，且在C点的速度为vC，此时轨道对坏块的弹力为零，滑块只受重力，由牛顿第二定律：
mg=m
v
2
C
R

解得vC =
gR

再假设b能够到达最高点C点，且在C点速度为
v
/
C
，由机械能守恒得：
1
2
m
v
2
2
=2mgR+
1
2
m
v
/2
C

解得：
v
/
C
=
12gR
＞
gR
．所以能到达C点，然后做平抛运动，水平位移为x，有
x=
12gR
4R
g
=4
3
R
故b最终落到轨道离B的水平距离4
3
R处．
点评：本题综合性较强，考查了动量守恒、机械能守恒定律以及完成圆周运动的临界条件的应用，注意把运动过程分析清楚，正确应用相关定律求解．
练习册系列答案
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