Question

向空间发展最具有可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”，如图13甲所示是设想中的一个太空城，长1 600 m，直径200 m，上下分8层，窗口和人造陆地交错分布，“陆地”上土壤厚1.5 m，窗外有巨大铝制反射镜可调节阳光射入.太空城空气、水、食品和土壤最初可以从地球、月球运送，以后则在太空里形成与地球同样的生态环境.

图13

（1）为使太空城的居民能如同在地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，太空城在电力驱动下绕自己的中心轴OO′以一定角速度转动，试求其转动的角速度.

（2）实际上，月球不是绕着地心公转，而是地球、月球在相互的引力作用下绕它们连线上的一固定点C做匀速转动，如图乙.试求该点C与地球球心的距离.（设地球质量为M₁，月球质量为M₂，地月中心距离为r）

（3）太空城的首选位置在与月球、地球相距为r的D处，如图13乙所示，这里，太空城在月球、地球引力的共同作用下，相对地球、月球静止.试证明太空城受地球、月球对其合力方向指向C点.

Answer 1

解析：（1）由g=ω₁²·得

ω₁=

= rad/s

= rad/s

=0.316 rad/s.

（2）如题图乙，设AC=r₁，CB=r₂.地球、月球间的引力提供各自绕固定点C转动的向心力.

=M₂ω²r₂①

=M₁ω²r₁②

r₁+r₂=r③

由①②③得：ω=,

r₂=r,r₁=r.

（3）在右图中作AE∥BD交DC延长线于E点，再作EH∥AD交BD于H点.

因△AEC∽△BDC，得：==

又=，

可得：=，

又AD=DB，DH=AE，

得： =④

又据F₁=,F₂=,

得：=⑤

由④⑤得：=，

所以F₁、F₂的合力方向与平行四边形ADHE的对角线DE方向重合，即证F₁、F₂的合力指向C点.

答案：（1）0.316 rad/s

（2）r

（3）略