Question

有一个单摆如图所示,其摆长为l=1.02 m,摆球的质量为m=0.1 kg,从与竖直方向夹角θ=4° 的位置无初速度释放,问:

(1)已知振动的次数为n=30次,所用时间为t=60.8 s,重力加速度g等于多少?

(2)摆球的最大回复力是多少?

(3)摆球经过最低点时的速度为多大?

(4)摆球在最低点时悬线的拉力为多大?

(5)如果这个摆改为秒摆,摆长应该怎样改变?(已知:sin4°=0.069 8,cos4°=0.997 6,π=3.14)

Answer 1

(1)g=9.791 m/s²

(2)F₁=0.068 N

(3)v=0.219 m/s

(4)F_T=0.52 N

(5)Δl=l-l₀=(1.02-0.993) m=0.027 m.

解析：(1)由于θ=4°＜5°,所以单摆做的是简谐运动,其周期T=t/n=60.8/30 s=2.027 s,根据:

T=2π,可得:

g== m/s²=9.791 m/s².

(2)当摆球处在最大位移处时即处在C或B时回复力最大,如图当摆球在B点时,进行受力分析,重力沿切线方向的分力提供向心力,所以最大回复力为:

F₁=mgsin4°=0.1×9.791×0.069 8 N=0.068 N.

(3)摆球在摆动的过程中重力势能和动能相互转化,不考虑空气阻力,摆球的机械能是守恒的,其总的机械能E等于在最高点时的势能E_p或者等于在最低点时的动能E_k,设摆球在最低点时的速度等于v,则有:

mv²=mgl(1-cos4°)

即有:

v=

= m/s=0.219 m/s

(4)在最低点时,悬线和重力的合力提供摆球的向心力,所以,由F_T-mg=得,悬线的拉力为

F_T=mg+=0.1×10 N+ N=0.52 N.

(5)秒摆的周期T=2 s,设其摆长为l₀,根据:T=2π得T∶T₀=∶,所以有l₀== m=0.993 m,

所以其摆长要缩短:

Δl=l-l₀=(1.02-0.993) m=0.027 m.