Question

7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量均为m的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式，其中一种是三颗星位于同一直线上，位置关系如图所示，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行．引力常量为G．求：
（1）星体1转动时的向心力大小．
（2）星体1运动的线速度和角速度．

Answer 1

分析 根据万有引力定律公式，求出星体1转动时向心力的大小．根据万有引力提供向心力求出线速度和角速度的大小．

解答 解：（1）星体1转动时向心力的大小为：${F}_{向}=G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}+G\frac{{m}^{2}}{4{R}^{2}}=\frac{5G{m}^{2}}{4{R}^{2}}$．
（2）根据$\frac{5G{m}^{2}}{4{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mR{ω}^{2}$得线速度为：v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，角速度为：$ω=\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}^{3}}}$．
答：（1）星体1转动时的向心力大小为$\frac{5G{m}^{2}}{4{R}^{2}}$．
（2）星体1运动的线速度和角速度分别为$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$、$\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}^{3}}}$．

点评 解决本题的关键知道星体1向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．