Question

（2013?佛山一模）如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．a、b为两完全相同的小球，a球由静止从A点释放，在C处与b球发生弹性碰撞．已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：
（1）a球滑到斜面底端C时速度为多大？a、b球在C处碰后速度各为多少？
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，两球最后所停位置距D（或E）多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出．

Answer 1

分析：（1）a球从A运动至C过程，由动能定理列出等式，a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒列出等式联立求解
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律求解．

解答：解：（1）设a球到达C点时速度为v，
a球从A运动至C过程，由动能定理有
mg(5Rsin370+1.8R)-μmgcos370?5R=

1

2

mv2  ①

可得       v=

5.6gR

②
a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，
设a、b碰后瞬间速度分别为v_a、v_b，
则有mv=mv_a+mv_b③

1

2

mv2=

1

2

mva2+

1

2

mvb2④
由②③④可得   
 v_a=0
vb=

5.6gR

  ⑤
可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动．
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球b在最高点P应满足
m

vP2

R′

≥mg⑥
小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有
-μmgR-mg?2R′=

1

2

mvP2-

1

2

mvb2⑦
由⑤⑥⑦式，可得 R′≤

23

25

R=0.92R
情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．
则由动能定理有
-μmgR-mg?R′=0-

1

2

mvb2⑧
由⑤⑧式，可得     R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，b球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道与a球碰撞，且a球到达B点，在B点的速度为v_B，
由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律有

1

2

mv2=

1

2

mvB2+mg?1.8R+2μmgR⑨
由⑤⑨式，可得     v_B=0
故知，a球不能滑回倾斜轨道AB，a、b两球将在A、Q之间做往返运动，最终a球将停在C处，b球将停在CD轨道上的某处．
设b球在CD轨道上运动的总路程为S，由于a、b碰撞无能量损失，
则由能量守恒定律，有

1

2

mv2=μmgS⑩
由⑤⑩两式，可得   S=5.6R
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
答：（1）a球滑到斜面底端C时速度为

5.6gR

，a、b球在C处碰后速度各为0和

5.6gR

．
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．R′≤0.92R
小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D，R′≥2.3R
b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．

点评：此题要求熟练掌握动能定理、系统动量守恒、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．