Question

如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部 分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动。弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出。已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他机械能损失，ab段长L=1.25 m，圆的半径R=0.1 m，小球质量m=0.01 kg，轨道质量M=0.26 kg，g=10 m/s²，求：
（1）要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v₀需满足什么条件？
（2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₁至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零。
（3）若v₀'=3 m/s，小球最终停在何处？

Answer 1

解：（1）设小球到达d点处速度为v_d，由动能定理，得 ①

若小球由d点做平抛运动刚好经过图中的O点，则有 ②
R=v_dt ③
联立①②③并代入数值得 ④
小球的初速度v₀需满足 ⑤
（2）设小球到达c点处速度为v_c，由动能定理，得 ⑥
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得 ⑦
要使轨道对地面的压力为零，则有N'=Mg ⑧
联立⑥⑦⑧并代入数值，解得小球的最小速度v₁=6 m/s ⑨
（3）小球能通过d点，需满足v_d≥0，由动能定理 ⑩
得
因，小球过不了d点而沿轨道原路返回
对整个过程由动能定理，有
得x=2.25 m
小球最终停在a右侧0.25 m处