Question

（2010?云南模拟）如图所示，xOy平面内，第二象限匀强电场方向水平向右，第一象限匀强电场方向竖直向下，场强大小相等，设为E．x轴下方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度设为B，图中OP直线与纵轴的夹角α=45°，一带正电的粒子从OP直线上某点A（-L，L）处由静止释放，重力不计．设粒子质量为m，带电量为q，E、B、m、q均未知，但已知各量都使用国际制单位时，从数值上有B=

4mE q

．
（1）求粒子进入磁场时与x轴交点处的横坐标；
（2）求粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角；
（3）如果在OP直线上各点释放许多个上述带电粒子（不计粒子间的相互作用），试证明各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线．（提示：写出圆心点坐标x、y的函数关系）

Answer 1

分析：（1）粒子由A点静止释放后，先做匀加速直线运动，进入第一象限后改作类平抛运动，而后进入匀强磁场，由类平抛运动规律可解粒子进入磁场时与x轴交点处的横坐标
（2）由类平抛运动规律可解 粒子进入磁场时与x轴交点处的横坐标
（3）求解粒子进入磁场做匀速圆周运动的圆心的横纵坐标，解析圆心点坐标x、y的函数关系可得圆心点的集合为二次函数，图形为抛物线

解答：解：（1）设粒子进入第一象限时的速度为v₁，由动能定理得：
EqL=

1

2

mv

2 1

①
粒子在第一象限内做类平抛运动，竖直向下的加速度为：
a=

Eq

m

②
设在第二象限内运动时间为t，则：
L=

1

2

at²③
设入射磁场点的横坐标为x₁，则：
x₁=v₁t④
由①②③④式得，x₁=2L
（2）设粒子进入磁场时速度方向与x轴正向的夹角为θ，则：
tanθ=

at

v1

=1⑤
所以，θ=45°
（3）粒子进入磁场后将做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设其运动半径为r，射入速度为v，则：
v=

2

v₁
由牛顿第二定律得：
Bqv=

mv2

r

⑥
由几何关系得，圆心位置坐标为：
x=2L-rcos45°⑦
y=-rsin45°⑧
而B=

4mE q

⑨
由⑥⑦⑧⑨整理得x=4y²-y
所以，圆心点的集合为抛物线
答：（1）入射磁场点的横坐标为2L
（2）进入磁场时速度方向与x轴正向的夹角为45°
（3）圆心点的集合为抛物线

点评：带电粒子的偏转往往被称为“类平抛运动”，利用平抛运动规律解决，实际上在沿电场方向考虑运动的独立性，可再次应用动能定理求解沿偏转方向的分速度；在解决轨迹问题时，通常整理横纵坐标间的数学关系时，由关系式判断图象形状