Question

如图所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段弯成半径为的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差的水平面上。以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴。圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B（t），如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B（x），如图3所示；磁场B（t）和B（x）的方向均竖直向上。在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B（t）开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t₀金属棒恰好滑到圆弧导轨底端。已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。

（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；
（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B（x）区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q;
（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x₁，位置时停下来，
a．求金属棒在水平轨道上滑动过程中遁过导体棒的电荷量q；
b．通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置。

Answer 1

（1）L²B₀/t₀（2）+ mgL/2-mv²（3）金属棒在x=0处，感应电流最大

根据题中图像、图形信息，利用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、机械能守恒电流、能量守恒定律、焦耳定律及其相关知识列方程解答。
解：（1）由图2可知，△B/△t=B₀/t₀，
金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势
E=△Φ/△t=L²△B/△t= L²B₀/t₀.。①
（2）金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的焦耳热Q₁=t₀=
金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，机械能守恒，mgL/2=mv₀²，②
设金属棒在水平轨道上滑动过程中，产生的焦耳热为Q₂。根据能量守恒定律，
Q₂=mv₀²-mv²= mgL/2-mv²。
所以金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热Q= Q₁+ Q₂=+ mgL/2-mv²。
（3）a． 根据图3，x=x₁(x₁< x₀)处磁场的磁感应强度B₁=。设金属棒在水平轨道上滑行时间为△t。由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律，△t时间内产生的平均感应电动势E=△Φ/△t==。
平均电流I=E/R，通过金属棒的电荷量q=I△t，
联立解得通过金属棒的电荷量q= 。
b．金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，根据①式，I₁=E/R= L²B₀/Rt₀.。
金属棒在水平轨道上滑动过程中，由于滑行速度和磁感应强度都在减小，所以，金属棒刚进入磁场时感应电流最大。
根据②式，刚进入水平轨道时，金属棒速度v₀=
所以，水平轨道上滑行过程中的最大感应电动势E’=B₀L v₀=B₀L，
最大电流I₂=E’/R= B₀L/R.
若金属棒自由下落高度L/2，由L/2=gt²/2，经历时间t=，显然t₀>t。
所以，I₁= L²B₀/Rt₀< L²B₀/Rt== B₀L/R.= I₂。
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大。