Question

如图，一块平板P₂置于光滑水平面上，质量为2m，其右端固定一轻质弹簧，左端放置一个物体P₁，质量为m可看作质点．平板P₂上弹簧的自由端离物体P₁相距为L的部分是粗糙的，其余部分是光滑，且P₁与P₂之间的动摩擦因数为μ．现有一颗子弹P质量为

m

2

以速度v₀水平向右打入物体P₁并留在其中，子弹打入过程时间极短．随后的运动过程中，（重力加速度为g）求
（1）子弹P打入物体P₁后的共同速度v₁
（2）若子弹P与物体P₁最终能停在平板P₂的最左端，则L至少为多少？
（3）试讨论动摩擦因数为μ与此过程中弹簧的最大弹性势能E_P 的关系．

Answer 1

分析：（1）子弹P打入物体P₁后的共同速度根据系统的动量守恒定律求解．
（2）物体P₁在物体P₂并上滑过程中，系统的动量守恒，子弹P与物体P₁最终能停在平板P₂的最左端时，P₁、P₂、P三者速度相同，根据动量守恒定律求出共同速度，再根据能量守恒列式求解．
（3）当弹簧压缩最大时，P₁、P₂、P三者具有共同速度v₃，由动量守恒定律和能量守恒定律求解．

解答：解：（1）子弹P打入P₁过程，由于时间极短，P₁所受的摩擦力冲量可忽略不计，P和P₁组成的系统动量守恒．取向右方向为正方向，根据动量守恒定律得：

1

2

mv₀=（

1

2

m+m）v₁…①
解得：v1=

v0

3

…②
（2）对P₁、P₂、P系统，所受的合外力为零，满足动量守恒，取向右方向为正方向．由动量守恒定律得：

3

2

mv₁=（

3

2

m+2m）v₂…③
解得：v₂=

3

7

v₁=

1

7

v0 ④
对系统由能量守恒定律得：
2μ（

3

2

m）g?L=

1

2

?

3

2

m

v

2 1

-

1

2

?（

3

2

m+2m）

v

2 2

…⑤
解得：L=

v 2 0

63μg

…⑥
（3）由系统的能量守恒定律：E_p=

1

2

?

3

2

m

v

2 1

-

1

2

?（

3

2

m+2m）

v

2 2

-μ（

3

2

m）g?L…⑦
当Ep=0时，由②④⑦得，μ=

2 v 2 0

63gL

．
若μ≥

2 v 2 0

63gL

时，Ep=0，
若μ＜

2 v 2 0

63gL

时，E_p=

1

21

mv

2 0

-

3

2

μmgL
答：（1）子弹P打入物体P₁后的共同速度v₁为

v0

3

．
（2）若子弹P与物体P₁最终能停在平板P₂的最左端，则L至少为

v 2 0

63μg

．
（3）动摩擦因数μ与此过程中弹簧的最大弹性势能E_P的关系为：
 若μ≥μ₀=

2 v 2 0

63gL

时，Ep=0，
 若μ＜μ₀=

2 v 2 0

63gL

时，E_p=

1

21

mv

2 0

-

3

2

μmgL．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．对于多个相互作用的物体，往往优先考虑能否运用守恒定律求解．