题目内容

【题目】雪橇运动在北方很受人们欢迎,其简化模型如图所示。倾角θ=37°的直线雪道AB与曲线雪道BCDEB点平滑连接,其中AE两点在同一水平面上,雪道最高点C所对应的圆弧半径R=10mBC两点距离水平面AE的高度分别为h1=18mh2=18.1m,雪橇与雪道间的动摩擦因数μ=0.1。游客可坐在电动雪橇上由A点从静止开始向上运动。若电动雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s时间后自动关闭,则雪橇和游客(总质量M=50kg)到达C点时的速度vC=1m/s,到达E点时的速度vE=9m/s。已知雪橇运动过程中不脱离雪道,sin37°=0.6,重力加速度g10m/s2

(1)求雪橇在C点时对雪道的压力;

(2)求雪橇在BC段克服摩擦力做的功;

(3)求雪橇从C点运动到E点过程中损失的机械能;

(4)若仅将DE段改成与曲线雪道CD段平滑连接的倾斜直线轨道(如图中虚线所示),则雪橇从C点运动到E点过程中损失的机械能将如何变化(增加,减少还是不变)?请简要说明理由。

【答案】1495N225J37050J4不变

【解析】试题分析:选雪橇和游客的整体为研究对象,对其运动到C点进行受力分析,运用牛顿第二定律即可求出雪橇在C点时对雪道的压力;从AC对雪橇和游客的整体运用动能定理,即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功;对整体从CE运用动能定理,求出摩擦力做功,根据功能原理即可求出C点运动到E点过程中损失的机械能;运用微积分思想求出曲线轨道上摩擦力做功,与倾斜直线轨道上摩擦力做功做比较,即可判断雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失机械能的情况。

1)设C点轨道对雪橇的支持力为NC,根据牛顿第二定律可得:

代入数据解得:

根据牛顿第三定律可得,雪橇在C点时对雪道的压力:NC′=NC=495N

2)设雪橇在BC段克服摩擦力做的功为WBC,从AC对雪橇和游客的整体运用动能定理可得:

代入数据解得:WBC=25J

3)对整体从CE运用动能定理可得:

代入数据解得从CE克服摩擦力做功:WCE=7050J
所以整体从C点运动到E点过程中损失的机械能:W=WCE=7050J

4)设DE的水平距离为L,平滑连接的倾斜直线轨道倾角为θ

摩擦力做功:

曲线轨道上任选极短一段如图所示,将这一小段近似看成倾角为α的倾斜直线轨道,该端轨道在水平方向上的投影长为x,则摩擦力在该段轨道上做功: ,所以整个曲线轨道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加,即:

故两轨道的摩擦力做功相同:
所以雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失的机械能相同。

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