Question

2．如图所示，两条间距L=1m的光滑金属导轨制成的斜面和水平面，斜面的中间用阻值为R=2Ω的电阻连接，在水平导轨区域和斜面导轨及其右侧区域内分别有竖直向下和竖直向上的匀强磁场B₁、B₂，且B₁=B₂=0.5T．在斜面的顶端e、f两点分别用等长轻质柔软细导线连接ab，ab和cd是质量均为m=0.1kg，长度均为1m的两根金属棒，ab棒电阻为r₁=2Ω，cd棒电阻为r₂=4Ω，cd棒置于水平导轨上且与导轨垂直，金属棒、导轨及导轨接触良好．已知t=0时刻起，cd棒在外力作用下开始水平向右运动（cd始终在水平导轨上运动）．ab棒受到F=0.75+0.2t（N）沿水平向右的力作用，始终处于静止状态且静止时细导线与竖直方向夹角θ=37°，导轨的电阻不计．图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）分析并计算说明cd棒在磁场B₁中做何种运动．
（2）t=0时刻起，求1s内通过ab棒的电量q．
（3）若t=0时刻起，2s内作用在cd棒上外力做功为W=21.33J，则这段时间内电阻R上产生的焦耳热Q_R多大？

Answer 1

分析 （1）ab棒始终静止，受力保持平衡．对ab棒分析可得出电流与时间的关系，再对cd棒受力分析，由动力学知识可得出cd棒的运动；
（2）根据法拉第电磁感应定律可求得平均电流，由q=It可求解电荷量q；
（3）由动能定理可求得安培力所做的功，再分析电路中能量的转化关系，利用能的转化和守恒来求解热量．

解答 解：（1）ab棒平衡，则由平衡条件有：
F-F_A=mgtan37°
0.75-0.2t-0.5×I_ab×1=0.1×10×0.75
得：I_ab=0.4t（A）                                                
cd棒上电流为：I_cd=2I_ab=0.8t（A）…①，
则回路中电源电动势E=I_cd R_总 …②
cd棒切割磁感线，产生的感应电动势为E=B₁Lv…③
联立①②③得，cd棒的速度为：v=8t                                    
所以，cd棒做初速为零加速度为8m/s²的匀加速直线运动．                           
（2）cd棒的加速度为a=8m/s²，1s内的位移为：S=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×8×1²=4m 
根据I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{△Φ}{{R}_{总}t}$=$\frac{BLS}{{R}_{总}t}$                                                         
得通过cd棒的电量、为：q′=It=$\frac{BLS}{{R}_{总}}$
根据电路的结构可得：R_总=r₂+$\frac{R{r}_{1}}{R+{r}_{1}}$=4+$\frac{2×2}{2+2}$=5Ω
所以解得：q′=0.4C；
由串并联电路的规律可知，通过ab棒的电量为：q=$\frac{1}{2}q′$=0.2C．                                
 （3）t=1.2s时，cd棒的速度为：v=at=16m/s                         
根据动能定理得：W-W_安=$\frac{1}{2}$mv²-0                                      
得1.2s内克服安培力做功为：W_安=16-$\frac{1}{2}$×0.1×16²=8.53J                 
回路中产生的焦耳热为：Q=W_安=8.53J                              
电阻R上产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{Q}{10}$=0.853J；
答：（1）cd棒做初速为零加速度为8m/s²的匀加速直线运动．
（2）通过ab棒的电量为0.2C．
（3）R上产生的热耳热为0.853J．

点评 此题是电磁感应、运动学和能量的综合运用，要掌握平衡条件及其列式方法：合成法．熟练推导出感应电量表达式，准确分析能量如何转化．