题目内容

16．如图所示，传送带倾斜放置，与水平方向夹角为37°，传送带长4.45m，以3m/s的速度逆时针匀速运动．将一物块从传送带的顶端由静止释放，物块可视为质点，与传送带间的动摩擦因数为0.5，且物块相对传送带运动过程中会在传送带上留下痕迹，取g=10m/s2，sin37°=0.6，求：
（1）物块在传送带上由顶端到底端经历的时间；
（2）物块在传送带上留下的划痕长度．

分析 （1）传送带沿逆时针方向匀速运动，物块无初速地从上端放到传送带上后受到沿斜面向下的滑动摩擦力，做匀加速直线运动，最终速度和传送带速度相等，根据牛顿第二定律求得加速度，再由速度公式求物块加速到与传送带速度相等所用时间．进而可以求得物块匀加速运动的位移．根据共速瞬间物块重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的关系，判断之后物块的运动情况，再由牛顿第二定律和位移公式结合求物块继续运动的时间，从而求得总时间．
（2）根据时间和传送带的速度求出传送带的位移，得到物块与传送带的相对位移，即为物块在传送带上留下的划痕长度．

解答 解：（1）物块刚放到皮带上时受重力、支持力和沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律有：
   mgsinθ+μmgcosθ=ma1
代入数据解得：a1=10 m/s2
设经历时间t1物块与传送带共速，则 t1=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{10}$s=0.3s
此过程中物块的位移为：x1=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m
物块与传送带共速后，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以物块继续做匀加速运动．
由牛顿第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，
代入数据解得：a2=2m/s2
设继续匀加速运动经历的时间为t2，则
   L-x1=v0t2+$\frac{1}{2}$a2t22
解得：t2=1s
所以物块在传送带上由顶端到底端经历的时间 t=t1+t2=0.3s+1s=1.3s
（2）从开始到物块与传送带速度相等的这段时间内，物块相对传送带向上运动，相对运动的位移大小为：
△x1=vt1-x1=3×0.3-0.45=0.45 m，方向沿斜面向上
从与传送带速度相等到运动到底端的这段时间内，物块相对传送带向下运动，相对运动的位移大小为
△x2=L-x1-vt2=4.45-0.45-3×1=1m，方向沿传送带向下
考虑到划痕的重叠，故物块在传送带上留下的划痕长度 s=△x2=1m
答：
（1）物块在传送带上由顶端到底端经历的时间是1.3s；
（2）物块在传送带上留下的划痕长度是1m．

点评 解决本题的关键是会根据受力判断物体的运动情况，特别是分析共速后物体的运动情况，不能简单地认为共速后两者一起匀速运动．要注意相对位移的方向．

练习册系列答案
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A．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
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