题目内容
如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连。除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落时的速度。
粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为
① 速度小的粒子将在x 轨道半径大于a的粒子开始进入右测磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C’，C在y轴上，由对称性可知C’在x=2a直线上。设t1为粒子在02为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知：
由此解得
② 
③由②、③式和对称性可得∠OCM=60° ④ ∠MC’N=60° ⑤∠MC‘P=3600
=150° ⑥所以 ∠NC‘P=1500－600=900 ⑦即
为1/4圆周。因此，圆心C’在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC’可得2Rsin60°=2a 
⑧由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
⑨22参考解答： P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路。A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度
(1)A1带动A2转动，A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为ω1a1=ω2a2 （2）A1中每根辐条产生的感应电动势均为
（3）轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为
（4）A1中每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为RA1=
（5） A2中每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2=
（6）A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I=
（7）以（1）至（6）式代入（7）式，得I=
（8）当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 mgv=I2(R++) （9） 以（8）式代入（9）式得v=
(10)
① 速度小的粒子将在x 轨道半径大于a的粒子开始进入右测磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C’，C在y轴上，由对称性可知C’在x=2a直线上。设t1为粒子在0 由此解得 ② ③由②、③式和对称性可得∠OCM=60° ④ ∠MC’N=60° ⑤∠MC‘P=3600=150° ⑥所以 ∠NC‘P=1500－600=900 ⑦即为1/4圆周。因此，圆心C’在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC’可得2Rsin60°=2a ⑧由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 ⑨22参考解答： P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路。A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度 (1)A1带动A2转动，A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为ω1a1=ω2a2 （2）A1中每根辐条产生的感应电动势均为 （3）轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为（4）A1中每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为RA1=（5） A2中每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2=（6）A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I=（7）以（1）至（6）式代入（7）式，得I=（8）当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 mgv=I2(R++) （9） 以（8）式代入（9）式得v=(10) 
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