Question

如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上的O点，挂一根L=3m钓细绳，绳的下端挂一个质量为m=0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为l0N．小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落在墙边．求这个圆柱形屋顶的高度H和半径R．（g取10m/s²）

Answer 1

【答案】分析：设绳与竖直方向夹角为θ，则cosθ=，所以θ=60°，小球在绳子断开后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出下落的高度，根据几何关系即可求得H，
根据向心力公式求出绳断时的速度，进而求出水平位移，再根据几何关系可求R．
解答： 解：如图（1）所示，取小球为研究对象，设绳刚要断裂时细绳的拉力大小为T，绳与竖直方向夹角为α，则在竖直方向有：
Fcosα=mg，所以cosθ=，所以θ=60°                                                  
球做圆周运动的半径r=Lsin60°=3×=，
O、O′间的距离为：OO′=Lcos60°=1.5m，
则O′、O″间的距离为O′O″=H-OO′=H-1.5m．
由牛顿第二定律知
Tsinθ=m
    解得：
设在A点绳断，细绳断裂后小球做平抛运动，落在墙边C处．
设A点在地面上的投影为B，如答图（2）所示．
    由运动的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平抛运动的时间
t==0.6s                                                             
由平抛运动的规律可知小球在竖置方向上的位移为s_y=gt²=H-1.5m，
所以屋的高度为H=gt²+1.5m=×10×0.62m+1.5m=3.3m，
小球在水平方向上的位移为s_x=BC=v_At=m
由图可知，圆柱形屋的半径为R==4.8m
答：这个圆柱形屋顶的高度H为3.3m，半径R为4.8m．
点评：本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题，难度适中．