Question

 (22分)整个装置图如图所示，在光滑绝缘水平面上固定一竖直的表面光滑的挡板，ABCD为挡板与水平面的交线，其中ABC为直线，CD为半径R＝4.0 m的圆弧，C点为AC直线与CD圆弧的切点。整个装置置于真空中两有界的与水平面平行的匀强电场中，MN为两电场的分界面与水平面的交线，且MN垂直于AB，在MN的左侧有一沿AB方向场强大小为E₁＝5.0×10 5 V/m的匀强电场，在MN的右侧有一沿MN方向场强大小为E₂＝1.0×10⁷ V/m的匀强电场。质量m₂＝4.0×10^－2 kg的不带电金属小球静置于C点，电量为q＝＋2.0×10^－6 C、质量为m₁＝1.0×10^－2 kg的小球Q自A点静止释放(P、Q两金属球的大小完全相同)。已知AB＝0.5 m，BC＝1.20 m，cos10°＝0.985，＝π，简谐振动的周期公式为T＝2π，式中m为振子的质量，k是回复力与位移大小的比值且为常数。试求P、Q两球在距A点多远处第二次相碰(不计碰撞时机械能损失和电荷间的相互作用力，结果取三位有效数字)。

          

Answer 1

 (22分)解：小球Q由静止开始做匀加速直线运动，设到达B处时速度为v₀

则：qE₁＝m₁v

∴v₀＝＝＝10 m/s　　(2分)

Q球进入电场E₂后做匀速运动，与静止在C点的P球发生弹性碰撞，碰后P、Q两球电量等量分配且由动量守恒

m₁v₀＝m₁v₁＋m₂v₂　①　　(3分)

又：m₁v＝m₁v＋m₂v　②　　(3分)

解①、②可得：v₁＝v₀＝×10＝－6 m/s

v₂＝＝×10＝4 m/s　(2分)

即碰后Q球返回，先沿CB匀速运动进入E₁电场中，开始做匀减速直线运动，速度为零后又反向加速，运动到B以v₁＝6 m/s从B点再次进入电场E₂，由C到B过程中，运动时间：

t₁＝＝s＝0.2 s

在E₁中运动时间为t₂，则：t₂＝，a＝

∴t₂＝＝＝0.24 s　　(2分)

P球被碰后沿CD弧运动，设运动到D点且和圆心O的连线与OP夹角为θ，据动能定理：

m₂v＝qE₂R(1－cosθ)

∴cosθ＝1－＝0.992>0.985　θ<10°　　(2分)

小球在圆弧上运动的过程中，竖直方向上受力平衡，水平方向上受力如图，电场力沿圆弧切线方向的分力为：

F＝qE₂sinθ　此力为使小球P振动的回复力　　(1分)

Θθ<10°　∴sinθ≈θ≈　　(1分)          

∴F＝qE₂x

∴k＝　x为小球P偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与x的方向相反　　(1分)

故P球做简谐振动，其周期为：

T＝2π＝2π＝0.8 s　　(2分)

P第一次到达C点所用时间为＝0.4 s

Q球回到B处时，P在水平直线CB上向左匀速运动的时间为：Δt＝t₁＋t₂－＝0.04 s

P球在水平直线上向左运动的距离为：L₁＝v₂Δt＝0.16 m(1分)

设再经t₃，PQ两球相遇

∴BC－L₁＝(v₁＋v₂)t₃

∴t₃＝＝S＝0.104 s　　(1分)

相遇点距A为：S＝AB－v₁t₃＝0.5＋6×0.104＝1.12 m　

即距A球为1.12 m处第二次相遇.　　(1分)

解析:

(1)Q球在电场E₁中向右加速；(2)Q在电场E₂中匀速运动，与P碰撞：动量守恒、机械能守恒。且电量平分；(3)碰后Q球返回，P球沿轨道上摆；(4)求证P球为简谐振动，并确定其振动周期；⑸根据运动学关系确定两球二次相遇位置。

本题考查牛顿运动定律、动量守恒，简谐运动，较难题。