Question

在光滑水平面上方的空间内有一个匀强电场，其方向沿水平面向右，电场强度为E，如图所示．水平面上有两个静止的小球A和B（均可视为质点），两小球的质量均为m，A球带电量为+q，B球不带电．开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿水平面向右运动，并与B球发生碰撞．每次碰撞后A、B两球速度互换（碰撞时没有能量损失），碰撞时A、B两球间无电荷转移，不考虑两球间的万有引力，不计碰撞时间．问：
（1）A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞？
（2）再经过多长时间A球与B球发生第n次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出A球的加速度，结合位移时间公式求出A球与B球碰撞所经历的时间．
（2）碰撞后，速度交换，B球做匀速直线运动，A球由静止开始做匀加速直线运动，抓住位移相等，结合牛顿第二定律和运动学公式求出到第二次碰撞所经历的时间，以及碰撞时的速度，碰撞后，速度再次交换，B球做匀速直线运动，A球做匀加速直线运动，继续结合运动学公式和牛顿第二定律求出追及的时间和碰撞时的速度，找出对应的规律，求出A球与B球发生第n次碰撞所需的时间．

解答：解：（1）B球不带电，静止不动．A球在电场力作用下向右做匀加速运动，当其对地位移等于L时，A、B两球发生第一次碰撞．
对A球，由牛顿第二定律：Eq=ma
A球的位移：L=

1

2

at₁²
所以A、B两球发生第一次碰撞所用时间为：t₁=

2mL Eq

（2）①A、B两球第一次相碰后，A、B两球交换速度，设再经△t₁的时间A、B第二次相碰，则相碰时它们对地位移相等．
A球做匀加速运动，其位移为xA1=

1

2

a△t12
相碰前A球的速度为；v₁=at₁
B球做匀速运动，其位移为x_B1=v₁△t₁
解得△t₁=2t₁
所以从A球开始运动到与 B球发生第二次碰撞，所用时间为t′
t′=t1+△t1=3t1=3

2mL Eq

．
第二次碰撞前A的速度为v₂=a△t₁=2v₁．
②A、B两球第二次相碰后，A、B两球交换速度，设再经△t₃时间A、B第三次相碰，则相碰时它们对地位移相等．
A球做匀加速运动，其位移为x_A2=v₁△t₃+

1

2

a△t₃²
B球做匀速运动，其位移为x_B2=v₂△t₃
解得△t₃=△t₂=2 t₁
所以从A球开始运动到与B球发生第三次碰撞，所用时间为：
t″=t1+△t1+△t2=5t1=5

2mL Eq

③根据A、B两球的运动规律，作出如图所示的v-t图线，由图线知，
A球与B球发生第n次碰撞所用的时间为：
tn=(2n-1)

2mL Eq

．
答：（1）A球经过

2mL Eq

与B球发生第一次碰撞．
（2）再经过tn=(2n-1)

2mL Eq

A球与B球发生第n次碰撞．

点评：解决本题的关键理清小球的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．