Question

如图所示，在倾角θ=30°的光滑斜面上有质量均为m的A、B、C三个相同物块，其中A和B用劲度系数为k的轻弹簧相连，静止在斜面上．在斜面的底端有一个固定挡板．现在将C从斜面上某点由静止释放，B和C碰撞时间极短，B和C碰撞后粘连一起不再分开，以后的运动过程中A恰好不离开挡板．整个过程中，弹簧处在弹性限度以内．求：
（1）物块B上升的最高点与最初位置之间的距离；
（2）物块C释放时离B物块的距离d．

Answer 1

分析：（1）先根据平衡条件和胡克定律求出最初时弹簧的压缩量；由题意，以后的运动过程中A恰好不离开挡板，弹簧所受的拉力恰好等于A的重力沿斜面向下的分力，再由胡克定律求出此时弹簧伸长的长度，即可由几何关系求出物块B上升的最高点与最初位置之间的距离．
（2）按过程分析，并进行列式：C下滑做匀加速运动，根据动能定理求出C与B碰撞之前瞬间的速度．B、C碰撞过程时间极短，动量守恒，由动量守恒定律列式求出碰后两者共同速度．碰撞后整个系统机械能守恒，从碰撞结束到B至最高点运用机械能守恒定律列式，再联立即可求解．

解答：解：（1）设B、C碰撞前弹簧的压缩量为x₁，则由B平衡得：kx₁=mgsin30°
设A对挡板恰好无压力时弹簧伸长量为x₂，由A受力平衡得：kx₂=mgsin30°
物体B上升至最高点与开始平衡位置之间的距离为：L=x₁+x₂=

mg

k

（2）设B、C碰撞之前瞬间C的速度为υ，由动能定理得：mgdsin30°=

1

2

mv2
B、C碰撞动量守恒，设碰撞后共同速度为υ₁，则：mv=2mv₁           
碰撞后整个系统机械能守恒，从碰撞结束到B至最高点：
E_p1+

1

2

2m

v

2 1

=E_p2+2mg（x₁+x₂）sin30°             
由于x₁=x₂，故有：E_p1=E_p2            
由以上各式解得：d=

4mg

k

答：（1）物块B上升的最高点与最初位置之间的距离是

mg

k

；
（2）物块C释放时离B物块的距离d是

4mg

k

．

点评：本题采用程序法分析并列式，掌握胡克定律，运用平衡条件求解弹簧的形变量；根据形变量的关系，确定弹簧弹性势能的关系是解题关键．