Question

15．如图所示，斜面直轨道是粗粮的，大、小圆轨道光滑且均与斜面直轨道相切，切点分别为C、B，圆形轨道的出人口错开，大、小圆轨道的最高点跟斜面的最高点在同一水平线上，斜面直轨道的倾角为60°．今有一质量为m的小球自A以初速度v₀沿斜面滑下，运动到B后进入小圆形轨道，接着再沿斜面下滑进人大圆形轨道运动，小球与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求：
（1）若小球恰能到达大圆轨道的最高点，则v₀应满足什么条件？
（2）在v₀满足（1）的前提条件下，求小球在小圆轨道的最高点时对轨道的压力．

Answer 1

分析 根据几何关系求出大圆的半径，根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，通过动能定理求出初速度应满足的条件．
根据动能定理求出小球在小圆轨道最高点的速度，从而根据牛顿第二定律求出弹力的大小

解答 解：（1）设C处圆形轨道的半径为R′，
则由几何关系可知，A到B处圆轨圆心的距离为$A{O}_{1}=\frac{R}{sin30°}$，
而且$\frac{R′}{3R+R′}=sin30°$，
解得R′=3R，
斜面轨道AB=$Rcot30°=\sqrt{3}R={s}_{1}$，①
$AC=3Rcot30°=3\sqrt{3}R={s}_{2}$  ②
小球由A到C处圆形轨道的最高点的过程由动能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ③
由于小球恰能到达C处圆轨道的最高点，故v=$\sqrt{gR′}$．  ④
联立①②③④解得${v}_{0}=\sqrt{6gR}$．    ⑤
（2）设小球到达B处圆形轨道的最高点的速度为v₁，
小球由A到B处圆形轨道最高点的过程，由动能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{1}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ⑥
设小球在B处圆形轨道最高点受轨道压力为F_N，
由牛顿第二定律可知，${F}_{N}+mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$    ⑦
联立①⑤⑥⑦解得F_N=4mg．
答：（1）小球恰能到达大圆轨道的最高点，则v₀应满足大于等于$\sqrt{6\sqrt{R}}$；
（2）小球在小圆轨道的最高点时受到的轨道的弹力大小是4mg

点评 本题考查了圆周运动和动能定理、牛顿第二定律的综合，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键，本题对数学几何能力的要求较高，需加强训练