Question

（2011?海淀区一模）如图所示，相距为d的狭缝P、Q间存在着方向始终与P、Q平面垂直、电场强度大小为E的匀强电场，且电场的方向按一定规律分时段变化．狭缝两侧均有磁感强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且磁场区域足够大．某时刻从P平面处由静止释放一个质量为m、带电荷为q的带负电粒子（不计重力），粒子被加速后由A点进入Q平面右侧磁场区，以半径r₁做圆运动，此时电场的方向已经反向，当粒子由A₁点自右向左通过Q平面后，使粒子再次被加速进入P平面左侧磁场区做圆运动，此时电场又已经反向，粒子经半个圆周后通过P平面进入PQ狭缝又被加速，…．以后粒子每次通过PQ间都被加速．设粒子自右向左穿过Q平面的位置分别是A₁、A₂、A₃、…A_n…，求：
（1）粒子第一次在Q右侧磁场区做圆运动的半径r₁的大小；
（2）粒子第一次和第二次通过Q平面的位置A₁和A₂之间的距离；
（3）设A_n与A_n+1间的距离小于r₁/3，则n值为多大．

Answer 1

分析：带电粒子被电场加速，可以使用动能定理求出它的速度，在磁场中洛伦兹力提供向心力，可以求出粒子的半径．

解答：解：（1）带电粒子被电场加速，由动能定理：qEd=

1

2

m

v

2 1

洛伦兹力提供向心力：qv1B=

m v 2 1

r1

解得：r1=

m

qB

2qEd m

（2）带电粒子第二次被电场加速，由动能定理：qEd=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

洛伦兹力提供向心力：qv2B=

m v 2 2

r2

解得：r2=

m

qB

2×2qEd m

同理，通过A₂时的半径：r3=

m

qB

3×2qEd m

=

3

r1
所以：

.

A1A2

=2r3-2r2=2(

3

-

2

)

m

qB

2qEd m

（3）第n次通过Q时的半径：r2n-1=

2n-1

r1
第n+1次通过Q时的半径：r2n+1=

2n+1

r1
若A_n与A_n+1间的距离小于

r1

3

，即：r2n+1-r2n-1=(

2n+1

-

2n-1

)r1＜

1

3

r1
得：

2n+1

-

2n-1

＜

1

3

当n≥5时，满足上面的条件．
答：（1）粒子第一次在Q右侧磁场区做圆运动的半径r1=

m

qB

2qEd m

；
（2）粒子第一次和第二次通过Q平面的位置A₁和A₂之间的距离是2(

3

-

2

)

m

qB

2qEd m

；
（3）设A_n与A_n+1间的距离小于

1

3

r₁，则n值应≥5．

点评：本题关键是充分应用题给条件研究粒子第n次进入电场时的速度，穿出电场时速度．动能定理是常用的方法．