Question

3．如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边相互垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l．匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动．在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q．线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g．求：
（1）线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几倍；
（2）磁场上下边界间的距离H．

Answer 1

分析 （1）线框匀速进入（离开）磁场，重力与安培力平衡，根据平衡条件、安培力公式、切割公式、欧姆定律列式求解即可分别求出两个速度；
（2）由动能定理和功的计算公式，写出重力做的功W，然后结合功能关系即可求出磁场的宽度．

解答 解：（1）设线框dc边刚进入磁场时，线框的速度为v₁，感应电动势 E=B•2lv₁  ①
感应电流：I=$\frac{E}{R}$   ②
dc边受安培力的大小：F=BI•2l  ③
由于做匀速运动，则：F=mg  ④
由①～④式解得速度：${v}_{1}=\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$⑤
设线框ab边将离开磁场时，线框的速度为v₂，同理可得：
${v}_{2}=\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$   ⑥
所以：v₂=4v₁   ⑦
（2）在线框从开始下落到dc边刚进入磁场的过程中，重力做功W_G=2mgl
根据动能定理得：2mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$   ⑧
线框完全穿过磁场的过程中，由功能关系得：
$mg（2l+H）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+Q$   ⑨
联立⑦⑧⑨得：H=$\frac{Q}{mg}+28l$
答：（1）线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的4倍；
（2）磁场上下边界间的距离是$\frac{Q}{mg}+28l$．

点评 本题是电磁感应中的综合问题，全面考查电磁感应定律、欧姆定律以及动能定理、平衡条件等知识，分析清楚线框的运动过程、应用匀变速直线运动的速度位移公式、E=BLv、安培力公式、平衡条件、能量守恒定律、电流定义式即可正确解题．