Question

11．如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：
（1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
（2）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

Answer 1

分析 （1）当AC绳拉直但没有力时，BC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出此时的角速度，当BC绳拉直但没有力时，AC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出角速度，当角速度处于两者之间时，两绳均张紧；
（2）当ω=3rad/s时，AC、BC绳子拉力的水平分力的合力提供向心力，竖直方向分力之和与重力平衡，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）当AC绳拉直但没有力时，即F_T1=0时，由重力和绳BC的拉力F_T2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mgtan45°=m${{ω}_{max}}^{2}r$
其中：r=l•sin30°
解得：ω_max=3.16 rad/s
当F_T2恰为零时，根据牛顿第二定律，有：
mgtan30°=m${{ω}_{min}}^{2}r$
解得：ω_min=2.4 rad/s
所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧．
（2）当ω=3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受F_T1、F_T2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：F_T1sin30°+F_T2sin45°=mlsin30°ω²
竖直方向：F_T1cos30°+F_T2cos45°=mg
代入数据后解得：
F_T1=0.27 N
F_T2=1.09 N
答：（1）小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范围内两绳均张紧；
（2）当ω=3rad/s时，AC绳拉力为0.27N，BC绳拉力1.09N．

点评 本题中球做匀速圆周运动，拉力的水平分力提供向心力，关键受力分析后根据牛顿第二定律列式求解，难度适中．