Question

【题目】如图所示的两个圆形磁场可实现带电粒子的汇聚与侧移。在x-y轴直角坐标平面内，两个圆形磁场Ⅰ、Ⅱ相切于坐标原点O，圆心均在y轴上，半径均为R，磁感应强度大小相等，垂直于x-y轴直角坐标平面且方向相反。大量带正电的粒子质量为m，带电量为q，以平行于x轴的速度v沿x轴正方向进入磁场Ⅰ，经磁场偏转后汇聚于坐标原点O并进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ再次偏转后以平行于x轴的方向离开磁场Ⅱ实现侧移。在x轴下方有一平行于y轴的长度为R的粒子收集板PQ，Q点的坐标为（2R，-2R）。粒子打在收集板上被吸收不影响其他粒子的运动。不计粒子重力及粒子间的相互作用。

(1)求磁场Ⅰ的磁感应强度B的大小和方向；

(2)虚线MN平行于y轴且与磁场Ⅰ相切，经过MN上纵坐标为1.5R的点的粒子能否打在收集板上？若不能，请说明理由。若能，求其从MN到PQ的时间；

(3)假设收集板上端P点与x轴之间的距离d可在0与R之间变化，写出从MN到PQ的粒子打在Q点的运动时间T1和打在P点时间T2关于d的关系式。（解题中涉及的角度可用余弦的反三角函数表示，如）

Answer 1

【答案】(1)，方向垂直x-y轴直角坐标平面向外；(2)能，；(3)

【解析】

(1)欲使带电粒子汇聚于O点并实现侧移，由几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据

可得

方向垂直x-y轴直角坐标平面向外。

（2）粒子的运动轨迹如图1所示，

由几何关系可知，粒子在每个磁场中的运动圆心角θ均为，故粒子在磁场中的运动时间为

粒子在磁场外的运动时间为

所以粒子从MN到PQ的时间为

（3）当PQ上端P点与x轴的距离为d时，从MN到PQ的粒子打在Q点的粒子运动时间最长。打在Q点的粒子运动轨迹如图2所示

O1和O2分别为其在磁场ⅠⅡ中做圆周运动的圆心，其在磁场中的轨迹关于O点对称。过O2作O2K垂直X轴，在三角形O2KO中

则粒子在一个磁场中运动的圆心角

所以

从MN到PQ的粒子打在P点的粒子运动时间最短。打在P点的粒子运动轨迹如图3所示，

O2为其在磁场Ⅱ中做圆周运动的圆心，在三角形O2KO中，粒了在一个磁场中运动的圆心角

则