Question

17．如图所示，弧形轨道的下端与半径为R=1.6m的圆轨道平滑连接．现在使一质量为m=1kg的小球从弧形轨道上端距地面h=2.8m的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，轨道摩擦不计，g取10m/s²．试求：
（1）小球在最低点B时对轨道的压力大小；
（2）若小球在C点（未画出）脱离圆轨道，求半径OC与竖直方向的夹角θ大小；
（3）小球在C点脱离圆轨道后能到达的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球从A到B的过程中，根据动能定理，可求解球经过最低点B时的速度；在B点，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律，结合向心力表达式，即可求解小球在最低点B时对轨道的压力大小；
（2）根据机械能守恒，小球不可能到达圆周最高点，但在圆心以下的圆弧部分速度不等0，弹力不等于0，小球不会离开轨道，应在圆心以上的圆弧部分脱离轨道，此时轨道对小球的弹力为零，根据牛顿第二定律求出此时小球的速度，由机械能守恒定律列式求解．
（3）离开C点后做斜上抛运动，运用运动的分解法和机械能守恒定律结合解答．

解答 解：（1）小球从A到B的过程中，由动能定理得：$mg•h=\frac{1}{2}m{v^2}$ 
在B点，由牛顿第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$ 
联立解得  F_N=45N 
根据牛顿第三定律得：小球在最低点B时对轨道的压力大小 F_N′=F_N=45N，方向竖直向下．
（2）根据机械能守恒知，小球不可能到达圆周最高点，但在圆心以下的圆弧部分速度不等0，弹力不等于0，小球不会离开轨道．
设小球在C点（OC与竖直方向的夹角为θ）脱离圆轨道，则在C点轨道弹力为0，由牛顿第二定律有：
  $mgcosθ=m\frac{v_c^2}{R}$ 
小球从A到C的过程中，由机械能守恒定律得：$mg•h=mgR+mgRcosθ+\frac{1}{2}mv_c^2$ 
由以上两式解得：${v_c}=2\sqrt{2}m/s$，θ=60°
（3）离开C点后做斜上抛运动，水平分速度v_ccosθ 
设小球离开圆轨道后能到达的最大高度h处为D点，则D点的速度即水平方向大小等于 v_ccosθ 
从A到D点的过程中由机械能守恒定律得：$mg•h=\frac{1}{2}m{（{v_c}cosθ）^2}+mgh'$ 
解得：h′=2.7m 
答：
（1）小球在最低点B时对轨道的压力大小是45N，方向竖直向下；
（2）若小球在C点（未画出）脱离圆轨道，半径OC与竖直方向的夹角θ大小是60°；
（3）小球在C点脱离圆轨道后能到达的最大高度是2.7m．

点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律与机械能守恒定律的应用，要注意分析小球的运动过程和状态，明确小球刚脱离轨道时轨道对球的弹力为零，由径向合力充当向心力．