题目内容

【题目】质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3R( R为月球半径)的圆周运动。当它们运行到轨道的A点时,登月器被弹离, 航天飞机速度变大,登月器速度变小且仍沿原方向运动,随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点,在月球表面逗留一段时间后,经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接。若物体只受月球引力的作用,月球表面的重力加速度用g表示,已知科学研究表明,天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。求:

(1)月球的第一宇宙速度是多少?

(2)登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少?

(3)若登月器被弹射后,航天飞机的椭圆轨道长轴为8R,则为保证登月器能顺利返回A点,登月器可以在月球表面逗留的时间是多少?

【答案】(1)(2)(3)(其中,n=1、2、3、…)

【解析】1)假设登月器在近地轨道运动则有

在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,

联立①②解得

2)设登月器和航天飞机在半径的轨道上运行时的周期为T
因其绕月球作圆周运动,所以应用牛顿第二定律有
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,

联立③④解得

3)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有

为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接,登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足 (其中,
联立③④⑤⑥得 (其中, )。

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