题目内容
【题目】质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（ R为月球半径）的圆周运动。当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离, 航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接。若物体只受月球引力的作用，月球表面的重力加速度用g月表示,已知科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。求：
（1）月球的第一宇宙速度是多少?
（2）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（3）若登月器被弹射后,航天飞机的椭圆轨道长轴为8R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
（其中，n=1、2、3、…）
【解析】（1）假设登月器在近地轨道运动则有
①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
即： 
②
联立①②解得
。
（2）设登月器和航天飞机在半径
的轨道上运行时的周期为T，
因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有： 
③
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
即
④
联立③④解得： 
。
（3）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是
，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有： 
⑤ 
⑥
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足： 
（其中， 
） ⑦
联立③④⑤⑥得： 
（其中， 
）。
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