Question

（2011?湖北模拟）如图所示，在纸面内有一边长为L的等边三角形DES （虚线），三角形内只有方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间只有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B虚线三角形DES为内外磁场的理想边界．一电量为+q、质量为m的带正电粒子从DE边中点P以速度V₀垂直DE边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，试求：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P点，从P点射出时的速度v₀为多大？
（2）满足（1）问的粒子第一次从P点射入外部磁场到再次返回到P点仍射入外部磁场的最短时间为多少？

Answer 1

分析：（1）从P点射出的粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出轨迹半径R与速度的关系式．要使粒子能垂直DE返回到P点，应满足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…），联立解得，速度v₀应满足的条件
（2）在磁场中粒子做圆周运动的周期T=

2πm

qB

，与粒子速度无关，粒子做圆周运动回旋圆弧个数越少，时间越短，当n=0时运动的时间最短，当R=

L

2

时时间最短．即可求出最短时间．

解答：解：（1）从P点射出的粒子做圆周运动，设粒子的运动半径为R
即　qv₀B=m

v 2 0

R

粒子返回到P点应满足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…）
解以上各式得粒子的速度为v0=

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）
（2）在磁场中粒子做圆周运动的周期T=

2πm

qB

，与粒子速度无关，所以粒子做圆周运动回旋圆弧个数越少，时间越短，当n=0时运动的时间最短，
即当：R=

L

2

时时间最短．
由轨迹图可知，粒子以三角形的三个顶点为圆心做6个圆弧运动，
其中三个

5π

3

和三个

π

3

的圆弧
故最短时间为：t=3T=

6πm

qB

答：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P点，从P点射出时的速度v₀为

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）．
（2）满足（1）问的粒子第一次从P点射入外部磁场到再次返回到P点仍射入外部磁场的最短时间为

6πm

qB

．

点评：本题的难点在于几何图象的确定，要抓住三角形内外圆半径关系，则可得出各自圆弧所对应的圆心角，从而确定粒子运动所经历的时间．