Question

5．如图所示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，其传送带与地面的倾角θ=37°，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以v₀=5m/s的速率顺时针转动．将一袋质量为10kg的大米无初速度放在A端，到达B端后，米袋继续沿倾斜的CD部分运动，不计米袋在BC处的机械能损失．已知米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5，取g=10m/s²，cos 37°=0.8，求：
（1）不管CD部分传送带是否运转，米袋沿传送带AB运动的时间为多少？
（2）若CD部分传送带不运转，米袋能否运动到D端？
（3）若要米袋能被送到D端，CD部分顺时针运转的最小速度为多大？

Answer 1

分析 （1）米袋放在A端后先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，通过牛顿第二定律求得加速度，再由速度公式求出匀加速到与传送带共速的时间，由位移公式求得匀加速的位移．共速后米袋做匀速运动，再由位移公式求得匀速运动的时间，从而求得总时间．
（2）根据牛顿第二定律求出米袋在倾斜传送带上的加速度，再通过速度位移公式求出上升的最大距离．从而判断能否运动到D端．
（3）米袋滑上传送带摩擦力先向下，根据牛顿第二定律求出加速度，当速度减小到与传送带速度相同后，摩擦力向上，根据牛顿第二定律求出加速度，结合总位移等于CD的长度求出传送带的速度，即为传送带的最小速度．

解答 解：（1）米袋在AB部分加速时的加速度 a₀=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
米袋的速度达到v₀=5 m/s时，滑行的距离 s₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜s_AB=3m
因此米袋在传送带AB上，先加速后匀速
匀加速时间 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{0}}$=$\frac{5}{5}$=1s
匀速时间 t₂=$\frac{{s}_{AB}-{s}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{3-2.5}{5}$=0.1s      
所以米袋沿传送带AB运动的时间 t=t₁+t₂=1.1s
（2）CD部分不运转，设米袋在CD部分的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
  mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得 a=10 m/s²
米袋能滑上的最大距离 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$=1.25m＜4.45m
故米袋不能运动到D端．
（3）设CD部分运转速度为v时米袋恰能到达D端（即米袋到达D点时速度恰好为零），则米袋速度减为v之前的加速度大小为
 a₁=gsinθ+μgcosθ=10 m/s²
米袋速度小于v后所受摩擦力方向沿传送带向上，继续匀减速运动直到速度减为零，该阶段加速度大小为
  a₂=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）=2 m/s²
由运动学公式得  $\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$+$\frac{0-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{2}}$=4.45
解得 v=4 m/s，
即要把米袋送到D端，CD部分的最小速度为4 m/s
答：
（1）米袋沿传送带AB运动的时间为1.1s．
（2）若CD部分传送带不运转，米袋不能运动到D端．
（3）若要米袋能被送到D端，CD部分顺时针运转的最小速度为4 m/s．

点评 解决本题的关键理清米袋的运动情况，分段运用牛顿第二定律和运动学公式进行求解．要注意两个过程之间的联系，如速度关系、位移关系等．